Лема Іто

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

математиці Лема Іто використовується в стохастичному аналізі для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є випадковий процес. Назву отримала на честь японського математика Кійоші Іто. Лема є аналогом правила диференціювання складної функції в звичайному математичному аналізі. Її найкраще можна запам'ятати використовуючи розклад функції в ряд Тейлора до другого степеня по випадковому компоненту функції. Результат широко використовується у фінансовій математиці зокрема у формулі Блека-Шоуза для оцінки вартості кол опціонів. Формулу іноді називають Теоремою Іто-Добліна, на честь Вольвганга Добліна. Який також вивів формулу, але його записки були знайдені і оприлюднені тільки в 2000 році.[1]

Лема Іто[ред.ред. код]

Для дифузійних процесів[ред.ред. код]

Найпростіше формулювання леми Іто: для дифузійного процесу

 dX_t= \sigma_t\,dB_t + \mu_t\,dt

де dB_t\, диференціал Вінерівського процесу. Виразом (dB_t)^2\, не можна знехтувати у розкладі Тейлора, він еквівалентний dt\,, тоді як (dB_t)^3\approx dB_t dt\approx (dt)^{\frac{3}{2}} так само як і (dt)^2\, зануляється і ними можна знехтувати. Тому для двічі неперервно-диференційовної функції ƒ(t, x) (тобто для цієї функції визначені перша і друга частинні похідні) від двох дійсних параметрів t і x, використовуючи розклад Тейлора


\begin{align}
df(t,x) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2f}{\partial t^2} (dt)^2 + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial x} dt dx + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dx)^2 \right)  + \cdots
\end{align}

використовуючи позначення


f'(t,x)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x),\quad f''(t,x)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(t,x),\quad
\dot{f}(t,x)=\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)

і замінюючи dx\, на \sigma_t\,dB_t + \mu_t\,dt, отримуємо


\begin{align}
df(t,X_t)&= \dot{f}(t,X_t)\,dt +f'(t,X_t)(\mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t)+\frac{1}{2}f''(t,X_t)\sigma^2_t\,dt=\\
&=\left(\dot{f}(t,X_t)+\mu_tf'(t,X_t)+\frac{\sigma_t^2}{2}f''(t,X_t)\right)dt+f'(t,X_t)\sigma_t\,dB_t
\end{align}

Багатовимірний варіант,


df\left(t,X_{t}\right)=\dot{f}_{t}\left(t,X_{t}\right)dt+\nabla_{X_{t}}^{T}f\cdot dX_{t}+\frac{1}{2}dX^{T}_{t}\cdot\nabla_{X_{t}}^{2}f\cdot dX_{t}

де X_{t}=\left(X_{t,1},X_{t,2},\cdots,X_{t,n}\right)^{T} вектор дифузійних процесів, \dot{f}_{t}\left(t,X\right) частинна похідна по t, \nabla_{X}^{T}f градієнт функції ƒ по X, і \nabla_{X}^{2}f Матриця Гессе функції ƒ по X.

Неперервні напівмартингали[ред.ред. код]

Більш загально формула Іто виконується для будь-якого неперервного d-вимірного напівмартингалу X = (X1,X2,…,Xd), і двічі неперервно-диференційовної і дійснозначної функції f в Rd.

Іноді формулу презентують з перехресною варіацією наступним чином, f(X) напівмартингал, що задовольняє формулу Іто

df(X_t) = \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^df_{ij}(X_t)\,d[X^i,X^j]_t.

В цьому виразі, fiчастинна похідна функції f(x) по xi, і [Xi,Xj ] — квадратична варіація процесів Xi і Xj.

Розривні напівмартинали[ред.ред. код]

Лема Іто може бути застосована до загальних d-вимірних напівмартингалів, які можуть бути розривними. Взагалі напівмартингали — це càdlàg процес (неперервний справа процес, що має лівосторонні границі), і тому додатковий одночлен необхідний для того щоб стрибки процесу були враховані лемою Іто.

Для довільного càdlàg процесу Yt, лівостороння границя в точці t позначається Yt- і цей процес є неперервним зліва процесом. Стрибки записують як ΔYt = Yt - Yt-. Тоді, лема Іто стверджує: якщо X = (X1,X2,…,Xd) — d-вимірний напівмартингал і f двічі неперервно диференційовна дійсно-значна функція на Rd тоді f(X) — напівмартингал, і


\begin{align}
f(X_t)= & f(X_0)+\sum_{i=1}^d\int_0^t f_{i}(X_{s-})\,dX^i_s + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d \int_0^t f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^i,X^j]_s\\
&{} + \sum_{s\le t}\left(\Delta f(X_s)-\sum_{i=1}^df_{i}(X_{s-})\,\Delta X^i_s-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X^i_s \, \Delta X^j_s\right).
\end{align}

Ця формула відрізняється від випадку неперервних напівмартингалів додатковою сумою по стрибках X, що забезпечує рівність стрибка правої частини тотожності ( в час t) стрибку лівої частини Δf(Xt).

Неформальне виведення[ред.ред. код]

Формальне доведення леми вимагає знаходження границі послідовності випадкових величин. Тут ми тільки дамо схему доведення леми Іто з використанням розкладу функції в ряд Тейлора і застосуванням правил стохастичного числення.

Нехай маємо процес Іто записаний у формі

 dx= a\,dt + b\,dB.\!

Розкладаючи f(xt) в ряд Тейлора в точці x і t маємо

 df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial t}\,dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,dx^2 + \cdots

і підстановка dt + b dB замість dx дає

 df = \frac{\partial f}{\partial x}(a\,dt + b\,dB) + \frac{\partial f}{\partial t}\,dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a^2\,dt^2 + 2ab\,dt\,dB + b^2\,dB^2) + \cdots.

Границя при dt прямуючи до 0, dt2 та dt dB прямують до нуля, але вираз dB2 прямує до dt. Останній факт можна довести якщо ми покажемо, що

 dB^2 \rightarrow E(dB^2), since  E(dB^2) = dt. \,

Викидаючи доданки з dt2 та dt dB, підставляючи dt замість dB2, і зводячи доданки з dt та dB, отримуємо

 df = \left(a\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}b^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + b\frac{\partial f}{\partial x}\,dB

що й потрібно було показати.

Формальне доведення леми набагато складніше.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. "Stochastic Calculus :: Itô-Döblin formula", Michael Stastny