Лема Бореля — Кантеллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ле́ма Боре́ля — Канте́ллі в теорії ймовірностей — це результат, що виражає властивості нескінченної множини подій. Використовується зокрема при доведенні сильного закону великих чисел. Як правило подаються дві леми, хоча іноді лемою Бореля — Кантеллі називають лише першу з них.

Перша лема[ред.ред. код]

Нехай задано ймовірнісний простір (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) і послідовність подій \{A_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}. Позначимо

A = \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \equiv \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \left( \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} A_n \right).

Тоді якщо ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) є збіжним, то \mathbb{P}(A) = 0.

Доведення[ред.ред. код]

Спершу зазначимо, що \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \subset  \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} A_n . Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх k:

P \left( \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \right) \leq  P \left( \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} A_n \right) \leq \sum\limits_{n=m}^{\infty} P \left ( A_n \right) \rightarrow 0.

Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.

Друга лема[ред.ред. код]

Якщо всі події \{A_n\}_{n=1}^{\infty} сумісно незалежні, і ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) є розбіжним, то \mathbb{P}(A) = 1.

Доведення[ред.ред. код]

Достатньо довести, що для всіх k виконується:

P \left( \bigcup\limits_{n=k}^{\infty} A_n \right) = 1

Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.

Отже зафіксуємо k і розглянемо часткове об'єднання до деякого m > k

Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежними, маємо

P\left(\bigcap\limits_{n=k}^{m} A_n^c\right) = \prod\limits_{n=k}^m P(A_n^c)=\prod_{n=k}^m \left( 1-P\left( A_n \right) \right)

Зважаючи, що 1 - x \leq e^{-x} маємо

\prod_{n=k}^m \left( 1-P\left( A_n \right) \right) \leq \prod_{n=k}^m e^{-P(A_n)} = \exp (-\sum\limits_{n=k}^m P(A_n))

Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при m \rightarrow \infty тому:

P\left(\bigcap\limits_{n=k}^{m} A_n^c\right) \rightarrow 0

Однак виконується

P\left(\bigcap\limits_{n=k}^{m} A_n^c\right) = P\left(\Omega \setminus \bigcup\limits_{n=k}^{m} A_n\right) =1-P\left(\bigcup\limits_{n=k}^{m} A_n\right)

звідки при m \rightarrow \infty отримаємо бажаний результат.

Література[ред.ред. код]