Лема Бореля — Кантеллі

Ле́ма Боре́ля — Канте́ллі в теорії ймовірностей — це результат, що виражає властивості нескінченної множини подій. Використовується зокрема при доведенні сильного закону великих чисел. Як правило подаються дві леми, хоча іноді лемою Бореля — Кантеллі називають лише першу з них.

Перша лема

Нехай задано ймовірнісний простір $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ і послідовність подій $\{A_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$. Позначимо

$A = \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \equiv \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \left( \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} A_n \right)$.

Тоді якщо ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right)$ є збіжним, то $\mathbb{P}(A) = 0$.

Доведення

Спершу зазначимо, що $\limsup\limits_{n \to \infty} A_n \subset \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} A_n$. Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх k:

$P \left( \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \right) \leq P \left( \bigcup\limits_{n=m}^{\infty} A_n \right) \leq \sum\limits_{n=m}^{\infty} P \left ( A_n \right) \rightarrow 0$.

Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.

Друга лема

Якщо всі події $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ сумісно незалежні, і ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right)$ є розбіжним, то $\mathbb{P}(A) = 1$.

Доведення

Достатньо довести, що для всіх k виконується:

$P \left( \bigcup\limits_{n=k}^{\infty} A_n \right) = 1$

Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.

Отже зафіксуємо k і розглянемо часткове об'єднання до деякого m > k

Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежними, маємо

$P\left(\bigcap\limits_{n=k}^{m} A_n^c\right) = \prod\limits_{n=k}^m P(A_n^c)=\prod_{n=k}^m \left( 1-P\left( A_n \right) \right)$

Зважаючи, що $1 - x \leq e^{-x}$ маємо

$\prod_{n=k}^m \left( 1-P\left( A_n \right) \right) \leq \prod_{n=k}^m e^{-P(A_n)} = \exp (-\sum\limits_{n=k}^m P(A_n))$

Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при $m \rightarrow \infty$ тому:

$P\left(\bigcap\limits_{n=k}^{m} A_n^c\right) \rightarrow 0$

Однак виконується

$P\left(\bigcap\limits_{n=k}^{m} A_n^c\right) = P\left(\Omega \setminus \bigcup\limits_{n=k}^{m} A_n\right) =1-P\left(\bigcup\limits_{n=k}^{m} A_n\right)$

звідки при $m \rightarrow \infty$ отримаємо бажаний результат.

Література

• Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика - Київ, ВПЦ Київський університет, 2007.
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 978-1-85233-781-0