Лема Фату

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ле́ма Фату́ — твердження, яке використовується при доведені різних теорем у функціональному аналізі і теорії ймовірностей.

Формулювання з функціонального аналізу[ред.ред. код]

Нехай фіксовано простір з мірою (X,\mathcal{F},\mu). Припустимо, що \{f_n\}_{n=1}^{\infty} — послідовність невід'ємних інтегровних функцій на X. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

\int\limits_X {\liminf_{n \to \infty}} f_n(x)\, \mu(dx) \le {\liminf_{n \to \infty}} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx).

Формулювання з теорії ймовірностей[ред.ред. код]

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій \Omega, наведена вище теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай є невідємна послідовність інтегрованих випадкових величин \{X_n\}_{n=1}^{\infty}. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

\mathbb{E}\left[{\liminf\limits_{n\to \infty}}X_n\right] \le {\liminf\limits_{n\to \infty}} \,\mathbb{E} X_n.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]