Лема Фату

Ле́ма Фату́ — твердження, яке використовується при доведені різних теорем у функціональному аналізі і теорії ймовірностей.

Формулювання з функціонального аналізу

Нехай фіксовано простір з мірою $(X,\mathcal{F},\mu)$. Припустимо, що $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ — послідовність невід'ємних інтегровних функцій на $X$. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

$\int\limits_X {\liminf_{n \to \infty}} f_n(x)\, \mu(dx) \le {\liminf_{n \to \infty}} \int\limits_X f_n(x)\, \mu(dx)$.

Формулювання з теорії ймовірностей

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій $\Omega$, наведена вище теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай є невідємна послідовність інтегрованих випадкових величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

$\mathbb{E}\left[{\liminf\limits_{n\to \infty}}X_n\right] \le {\liminf\limits_{n\to \infty}} \,\mathbb{E} X_n.$

Див. також

• Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Джерела

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа (вид. четверте). Москва: Наука. с. 544. ISBN 5-9221-0266-4.