Логарифмічна похідна

В математиці, особливо в математичному і комплексному аналізі логарифмічна похідна фунції f визначається формулою.

$(\ln f)'= \frac{f'}{f} \!$

де f ′ похідна функції f.

Коли f функція f(x) від дійсної змінної x, і приймає дійсні, суворо додатні значення, логарифмічна похідна дорівнює похідній від ln(f); або, похідній натурального логарифма f. Це слідує прямо з ланцюгового правила.

Основні властивості

Багато властивостей дійсного логарифма також присутні і у логарифмічної похідної, навіть коли функція приймає не тільки додатні дійсні значення. Наприклад, через те, що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів множників

$(\log uv)' = (\log u + \log v)' = (\log u)' + (\log v)' .\!$

Таким чином для додатньо-дійсних функцій, логарифмічна похідна добутку це сума логарифмічних похідних множників. Але ми також можемо використати тотожність Лейбніца для знаходження похідної добутку

$\frac{(uv)'}{uv} = \frac{u'v + uv'}{uv} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} .\!$

Таким чином, вірно те, що для будь-яких функцій логарифмічна похідна добутку це сума логарифмічних похідної множників (де вони визначені).

Аналогічно, (в дійсності це наслідок), логарифмічна похідна оберненої функції є логарифмічна похідна первісної функції помножена на $-1$:

$\frac{(1/u)'}{1/u} = \frac{-u'/u^{2}}{1/u} = -\frac{u'}{u} ,\!$

як і у випадку із логарифмом оберненого додатнього числа.

Більш загально, логарифмічна похідна ділення це різниця логарифмічних похідних діленого і дільника:

$\frac{(u/v)'}{u/v} = \frac{(u'v - uv')/v^{2}}{u/v} = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} ,\!$

як і логарифм дробу дорівнює різниці діленого і дільника.

Узагальнюючі в іншому напрямку, логарифмічна похідна степеня (з константним дійсним показником) є добутком показника і логарифмічної похідної основи:

$\frac{(u^{k})'}{u^{k}} = \frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}} = k \frac{u'}{u} ,\!$

як і логарифм степеня є добутком показника і логарифма основи.