Логіка Лукашевича

Логіка Лукашевича — багатозначна логіка, як спочатку була визначена Яном Лукашевичем як тризначна логіка, а потім узагальнена до скінченної n-значної логіки, та до нескінченної дійснозначної логіки як для числення висловлень та логіки першого порядку.

Операціями логіки Лукашевича є:

імплікація $\rightarrow$

заперечення $\neg$

еквівалентність $\leftrightarrow$

слаба кон'юнкція $\wedge$

сильна кон'юнкція $\otimes$

слаба диз'юнкція $\vee$

сильна диз'юнкція $\oplus$

та константи ${\overline {0}}$ та ${\overline {1}}$.

Наявність слабої та сильної кон'юнкції та диз'юнкції є загальною рисою всіх підструктурних логік без правила скорочення, до яких належить логіка Лукашевича.

Аксіоми

Початкова система аксіом для нескінченно-значної логіки висловлень Лукашевича використовувала імплікацію та заперечення як основні логічні операції:

$~A\rightarrow (B\rightarrow A)$

$~(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))$

$~((A\rightarrow B)\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)$

$~(\neg B\rightarrow \neg A)\rightarrow (A\rightarrow B).$

Дійснозначний випадок

У дійснозначній логіці Лукашевича логічними значеннями є дійсні числа від 0 до 1. Операції визначаються як функції:

• Імплікація: $F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}$
• Еквівалентність: $F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|$
• Заперечення: $F_{\neg }(x)=1-x$
• Слабка кон'юнкція: $F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}$
• Слабка диз'юнкція: $F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}$
• Сильна кон'юнкція: $F_{\otimes }(x,y)=\max\{0,x+y-1\}$
• Сильна диз'юнкція: $F_{\oplus }(x,y)=\min\{1,x+y\}.$