Логічна імплікація

Імплікація — логічна зв'язка «якщо …, то …», тобто оператор між множиною T формул та формулою B, що виконується, якщо кожна модель (або інтерпретація) T також є моделлю B. В символьному вигляді:

$T \models B$ ,
$T \Rightarrow B$
$T \therefore B$

Двомісна логічна операція, що має значення «хибність», тоді і тільки тоді, коли перший операнд має значення «істина», а другий — «хибність».

Логічну імплікацію можна задати через інші логічні операції, наприклад:

$A \to B \equiv \neg A \or B$

Зміст

1 Визначення
- 1.1 Методи запам'ятовування таблиці істинності
2 Властивості
3 Функціональна повнота
4 Булева логіка
5 Дивіться також

Визначення [ред.]

Діаграма Венна для операції $~A \to B$

Таблиця істинності виглядає таким чином:

$~A$	$~B$	$~A \to B$
хибність	хибність	істина
хибність	істина	істина
істина	хибність	хибність
істина	істина	істина

Правило:
Імплікація як булева функція хибна лише тоді, коли посилка істинна, а наслідок хибний. Іншими словами, імплікація $A\to B$ - це скорочений запис для виразу $(\neg A)\or B$ .

Методи запам'ятовування таблиці істинності [ред.]

Для більш легкого розуміння сенсу прямої імплікації і запам'ятовування її таблиці істинності можна навести для прикладу деякі життєві моделі:

А - начальник. Він може наказати «працюй» (1) або сказати «роби, що хочеш» (0). В - підлеглий. Він може працювати (1) або байдикувати (0). У такому випадку імплікація - не що інше, як послух підлеглого начальнику. По таблиці істинності легко перевірити, що слухняності немає тільки тоді, коли начальник наказує працювати, а підлеглий ледарює.

Начальник	Підлеглий	Слухняність
роби що хочеш	байдикує	є
роби що хочеш	працює	є
працюй	байдикує	немає
працюй	працює	є

А – предмет студента. Студент може його «знати» (1) або «не знати» (0). В – сесія студента. Сесію можна здати (1) або не здати (0). У такому випадку імплікація – істинність існування заліку/незаліку.

Предмет	Сесія	Правдивість здачі сесії
не знає предмет	не здає сесію	правда
не знає предмет	здає сесію	правда (бо може таке бути)
знає предмет	не здає сесію	неправда
знає предмет	здає сесію	правда

Властивості [ред.]

$a \to b \equiv (\lnot b) \rightarrow (\lnot a)$

Функціональна повнота [ред.]

Множини операцій $\{ \to, \lnot \}, \{ \to, \bot \}, \{ \to, \not\to \}, \{ \to, \not\leftrightarrow \}$ є функціонально повними:

$a \not\to a \equiv \bot$

$a \not\leftrightarrow a \equiv \bot$

$\lnot a \equiv a \to \bot$

$a \lor b \equiv (\lnot a) \rightarrow b$

$a \land b \equiv \lnot (a \rightarrow \lnot b)$

$a \;|\; b \equiv a \to \lnot b$

$a \downarrow b \equiv \lnot ((\lnot a) \rightarrow b)$

...

Булева логіка [ред.]

У булевій логіці імплікація - це функція від двох змінних (вони ж - операнди операції, аргументи функції). Змінні можуть приймати значення з $~\{0, 1\}$ . Результат також належить $~\{0, 1\}$ . Обчислення результату проводиться за простим правилом, або за таблицею істинності. Замість значень $~0, 1$ може використовуватися будь-яка інша пара підходящих символів, наприклад $~false, true$ або $~F, T$ або «брехня», «істина».