Локальна теорема Муавра — Лапласа

Локальна теорема Муавра — Лапласа описує наближення нормального розподілу до біноміального розподілу. Є окремим випадком центральної граничної теореми.

Теорема

Якщо $n \rightarrow \infty$, тоді для k в $\sqrt{npq}$-околі точки np, існує наближення

$\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k} \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}e^{-(k-np)^2 / 2npq}, \ \ p+q=1, \ p>0, \ q>0.$

Гранична форма теореми стверджує, що

$\frac{\sqrt{2 \pi npq} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k}}{e^{-(k-np)^2 / 2npq}} \rightarrow 1$

для $n \rightarrow \infty.$

Додаток

Можливо, формулювання стає ясним не відразу, проте практичний зміст теореми простий: при великих значеннях n імовірність спостерігаючи рівно m успіхів можна приблизно розраховувати за формулою: $P(\mu_n=m) \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}e^{-(m-np)^2 / 2npq}$

Якщо вас цікавить імовірність того, що число успіхів буде лежати в деяких межах - $P(m_1\le \mu_n \le m_2)$ - у розрахунках допомагає інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

Посилання

• Використано матеріали зі статті в англійській Вікіпедії.

Дивіться також

• Центральна гранична теорема