Локальна теорема Муавра — Лапласа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Локальна теорема МуавраЛапласа описує наближення нормального розподілу до біноміального розподілу. Є окремим випадком центральної граничної теореми.

Теорема[ред.ред. код]

Якщо n \rightarrow \infty, тоді для k в \sqrt{npq}-околі точки np, існує наближення[1]

\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k} \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}e^{-(k-np)^2 / 2npq}, \ \ p+q=1, \ p>0, \ q>0.

Гранична форма теореми стверджує, що

\frac{\sqrt{2 \pi npq} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k}}{e^{-(k-np)^2 / 2npq}} \rightarrow 1

для n \rightarrow \infty.

Додаток[ред.ред. код]

Можливо, формулювання стає ясним не відразу, проте практичний зміст теореми простий: при великих значеннях n імовірність спостерігаючи рівно m успіхів можна приблизно розраховувати за формулою: P(\mu_n=m) \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}e^{-(m-np)^2 / 2npq}

Якщо вас цікавить імовірність того, що число успіхів буде лежати в деяких межах - P(m_1\le \mu_n \le m_2) - у розрахунках допомагає інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Papoulis, Pillai, «Probability, Random Variables, and Stochastic Processes», 4th Edition

Дивіться також[ред.ред. код]