Лінеаризація

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лінеаризáція — (лат. linearis — лінійний), один з методів наближеного подання нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому розумінні еквівалентної початковій. Методи лінеаризації мають обмежений характер, тобто еквівалентність початкової нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на іншій, то слід змінити і її лінеаризировану модель. Застосовуючи лінеаризацію, можна з'ясувати багато якісних і особливо кількісних властивостей нелінійної системи.

Лінеаризація функції[ред.ред. код]

Лінеаризація функції — це дієвий метод для наближеного обчислення значення функції y = f(x) в будь-якій x = a, беручи за основу нахил функції в x = b, за умови неперервності f(x) на [a, b] (або [b, a]) і того, що a достатньо близько до b. Коротко, лінеаризація обчислює наближене значення функції біля x = a.

Наприклад, \sqrt{4} = 2. Однак, що буде хорошим наближенням для \sqrt{4.001} = \sqrt{4 + .001}?

Будь-яку функцію y = f(x) можна лінеаризувати якщо вона неперервна біля цікавої нам точки. Для лінеаризації L_a(x) функції f(x) в точці x = a виконується L_a(a) = f(a). Загальною формою рівняння в околі точки (y_0, x_0) при нахилі M є: y - y_0 = M(x - x_0).

Використовуючи точку (a, f(a)), L_a(x) набуває вигляду y = f(a) + M(x - a). Бо неперервні функції є локально лінійні, найкращим нахилом для підстановки буде нахил дотичної до f(x) у x = a.

Наближення для f(x)=x^2 у (x, f(x))

Візуально, на зображені показана дотична лінії для f(x) у x. В x + h, де h є будь-яким достатньо малим по модулю значенням, f(x+h) дуже близьке до значення на дотичній в точці (x+h, L(x+h)).

У результаті отримуємо рівняння для лінеаризації функції в x = a:

y = f(a) + f'(a)(x - a)\,

Приклад[ред.ред. код]

Щоб знайти \sqrt{4.001}, ми можемо використати те, що \sqrt{4} = 2. Лінеаризацією f(x) = \sqrt{x} в x = a є y = \sqrt{a} + \frac{1}{2 \sqrt{a}}(x - a), бо функція f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} визначає нахил функції f(x) = \sqrt{x} в x. При a = 4, лінеаризація в 4 є y = 2 + \frac{x-4}{4}. У цьому випадку x = 4.001, отже \sqrt{4.001} це приблизно 2 + \frac{4.001-4}{4} = 2.00025. Справжнє значення близьке до 2.00024998.

Лінеаризація функції багатьох змінних[ред.ред. код]

Рівняння для лінеаризації функції f(x,y) в точці p(a,b) таке:

 f(x,y) \approx f(a,b) + \left. {\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial x}}} \right|_{a,b} (x - a) + \left. {\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial y}}} \right|_{a,b} (y - b)

Узагальнене рівняння для лінеаризації функції багатьох змінних f(\mathbf{x}) у точці \mathbf{p} таке:

f({\mathbf{x}}) \approx f({\mathbf{p}}) + \left. {\nabla f} \right|_{\mathbf{p}}  \cdot ({\mathbf{x}} - {\mathbf{p}})

де \mathbf{x} є вектором змінних і \mathbf{p} точка в якій ми лінеаризуємо.[1]

Лінеаризація нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь[ред.ред. код]

Лінеаризація дає можливість розглядати нелінійну систему як лінійну в деякому обмеженому сенсі і таким чином аналізувати її поведінку в околі цікавих нам точок. Зазвичай це критичні точки, тобто такі, де \bold{F}(\bold{x},t) = 0. Лінеаризація функції це доданок першого порядку з ряду Тейлора біля точки. Отже для системи визначеної рівнянням

\frac{d\bold{x}}{dt} = \bold{F}(\bold{x},t),

лінеаризовану систему можна записати як

\frac{d\bold{x}}{dt} = \bold{F}(\bold{x_0},t) + D\bold{F}(\bold{x_0},t)  \cdot (\bold{x} - \bold{x_0})

де \bold{x_0} це цікава нам точка і D\bold{F}(\bold{x_0}) це якобіан \bold{F}(\bold{x}) evaluated at \bold{x_0}.

Якщо точка \bold{x_0}   критична, то рівняння набуває вигляду

\frac{d\bold{x}}{dt} = \bold{J}_F(\bold{x_0},t)  \cdot (\bold{x} - \bold{x_0})

Примітки[ред.ред. код]