Лінійне диференціальне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

 y^{(n)}(x) + g_{(n-1)}(x)y^{(n-1)}(x) + \ldots + g_1(x)y(x) = f(x)

де  g_i(x) та f(x) — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких  g_i(x) = c_i .

Рівняння

 y^{(n)}(x) + g_{(n-1)}(x)y^{(n-1)}(x) + \ldots + g_1(x)y(x) = 0

називається однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.

Операторний запис[ред.ред. код]

Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

 Ly = f \,

де диференціальний оператор L - лінійний оператор, у - невідома функція (наприклад, від часу y(t)), а функція праворуч - ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Для такої функції ми можемо записати рівняння явно

 L y(t) = f(t) \,

і, навіть точніше,

 L [y(t)] = f(t) \,

Лінійний оператор можна розглядати у формі

L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y \,

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

 L_n(y) \equiv \left[\,D^n + A_{1}(t)D^{n-1} + \cdots + A_{n-1}(t) D + A_n(t)\right] y

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D 2 у = у ", ...), і я - задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Типовим простим прикладом лінійного диференціального рівняння є, наприклад, те, що використовуються для моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N (т) позначає число радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої А> 0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як

 \frac{dN}{dt} = -k N\,

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) рівняння в частинних похідних.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли я - це числа, рівняння,називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами[ред.ред. код]

Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд e^{zx}, де z,- (в загальному випадку)-комплексні значення z. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього - похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання

y^{(n)} + A_{1}y^{(n-1)} + \cdots + A_{n}y = 0

покладемо y=e^{zx}, що дає

z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.

Діленням на e^{zx} многочлен n-го порядку

F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,

Це алгебраїчне рівняння F(t)=0, характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші.

Формально, члени

y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).

вихідних диференціальних рівнянь замінюються на z^k. Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень z_1, z_2, ...z_n . Підстановка будь-якого з цих значень z в zx дає розв'язок e^{zx} Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.

Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.

Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо z (можливо, комплексний) нуль (=корінь) Р(x), що має кратність m, то y=x^ke^{zx} \, є розв'язками ЛОР (де k\in\{0,1,\dots,m-1\} \,). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь F(x). Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.

Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, xkezx, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з Re(y) і Im(y), де y — одна з функцій пари.

Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.


Приклад

y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0 \,

має характеристичне рівняння

z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0. \,

Його корені i, -i, й 1 (кратності 2). Базис розв'язків

e^{ix} ,\, e^{-ix} ,\, e^x ,\, xe^x \,.

Відповідний дійснозначний базис

\cos x ,\, \sin x ,\, e^x ,\, xe^x \,.

Приклади[ред.ред. код]

Дано, y''-4y'+5y=0 \, . Характеристичне рівняння z^2-4z+5=0 \, має корені 2 + і і 2 - і. Таким чином, базис розв'язків \{y_1,y_2\} є \{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} \, . Тепер у є розв'язком тоді і тільки тоді y=c_1y_1+c_2y_2 \, для c_1,c_2\in\mathbb C .

Оскільки коефіцієнти дійсні,

  • ми, ймовірно, не зацікавлені в комплексних розв'язках
  • наші базисні елементи взаємно спряжені

Лінійні комбінації

u_1=\mbox{Re}(y_1)=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{2x}\cos(x) \, і
u_2=\mbox{Im}(y_1)=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{2x}\sin(x) \,

дають нам дійсний базис \{u_1,u_2\} .

Простий гармонічний осцилятор[ред.ред. код]

схематичне подання простого гармонічного осцилятора

Диференціальне рівняння другого порядку

 D^2 y = -k^2 y,

що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати

 (D^2 + k^2) y = 0.

Вираз в дужках може бути факторизований, що дає

 (D + i k) (D - i k) y = 0,

це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для

 (D - i k) y = 0 \,

інший для

 (D + i k) y = 0.

Розв'язки, відповідно,

 y_0 = A_0 e^{i k x}

та

 y_1 = A_1 e^{-i k x}.

Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того,для

 y_{0'} = {A_0 e^{i k x} + A_1 e^{-i k x} \over 2} = C_0 \cos (k x)

та

 y_{1'} = {A_0 e^{i k x} - A_1 e^{-i k x} \over 2 i} = C_1 \sin (k x).

-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:

 y_H = C_0 \cos (k x) + C_1 \sin (k x).

Затухаючий гармонічний осцилятор[ред.ред. код]

схематичне подання гармонічного осцилятора із затуханням

Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:

 \left(D^2 + {b \over m} D + \omega_0^2\right) y = 0,

отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:

 \lambda^2 + {b \over m} \lambda + \omega_0^2 = 0.

Розв'яжемо:

 \lambda = {-b/m \pm \sqrt{b^2 / m^2 - 4 \omega_0^2} \over 2}.

Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:

 \left(D + {b \over 2 m} - \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2} \right) \left(D + {b \over 2m} + \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0.

Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає

 \left(D + {b \over 2 m} - \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2} \right) y = 0

а інше

 \left(D + {b \over 2m} + \sqrt{{b^2 \over 4 m^2} - \omega_0^2}\right) y = 0

Розв'язки, відповідно,

 y_0 = A_0 e^{-\omega x + \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_0 e^{-\omega x} e^{\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x}

та

 y_1 = A_1 e^{-\omega x - \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_1 e^{-\omega x} e^{-\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x}

де ω = B / 2 . З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:

 y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sinh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x + A_1 \cosh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x\right) e^{-\omega x}.

Однак, якщо | ω | <| ω 0 |, то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як

 y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sin \sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x + A_1 \cos \sqrt{\omega_0^2 - \omega^2} x\right) e^{-\omega x}.

Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.

Неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами[ред.ред. код]

Щоб отримати розв'язок неоднорідного рівняння , слід знайти частковий розв'язок неоднорідного рівняння або методом невизначених коефіцієнтів, або методом варіації сталих; загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і часткового інтеграла. Якщо ж задані початкові умови, можна застосувати перетворення Лапласа для отримання конкретного розв'язку безпосередньо.

Припустимо, нам дано

\frac {d^{n}y(x)} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y(x)} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y(x) = f(x).

Для подальших обчислень, виділимо характеристичний многочлен

P(v)=v^n+A_1v^{n-1}+\cdots+A_n.

Ми знайдемо базис розв'язків \{y_1(x),y_2(x),\ldots,y_n(x)\} як і в однорідному (F (X) = 0) випадку. Частковий розв'язок у р (х) одержимо методом варіації сталих. Нехай коефіцієнти лінійної комбінації є функціями від х:

y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) + \cdots + u_n(x) y_n(x).

Для зручності позначень будемо опускати залежність від х (тобто, частини звичного запису вигляду (х)). Використовуючи операторний запис D=d/dx і вільно використовуючи позначення, дане рівняння набуде вигляду P(D)y=f , тож

f=P(D)y_p=P(D)(u_1y_1)+P(D)(u_2y_2)+\cdots+P(D)(u_ny_n).

З обмеженнями

0=u'_1y_1+u'_2y_2+\cdots+u'_ny_n
0=u'_1y'_1+u'_2y'_2+\cdots+u'_ny'_n
 \cdots
0=u'_1y^{(n-2)}_1+u'_2y^{(n-2)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-2)}_n

параметри виносяться, після чого залишається дещо "зайве":

f=u_1P(D)y_1+u_2P(D)y_2+\cdots+u_nP(D)y_n+u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.

Але P(D)y_j=0 , тому

f=u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.

Це, з обмеженнями, дає лінійну система за u'_j . ЇЇ, насправді, завжди можна розв'язати поєднуючи методи Крамера і Вронського,

u'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}.

Решта зводиться до інтегрування u'_j.

частковий розв'язок не є єдиним, y_p+c_1y_1+\cdots+c_ny_n також задовольняє рівняння для будь-якого набору констант з основного поля.

Приклад:[ред.ред. код]

Покладемо, y''-4y'+5y=sin(kx) . Ми візьмемо базис розв'язку, знайдений вище \{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} .

W\, = \begin{vmatrix}e^{(2+i)x}& e^{(2-i)x} \\ (2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x} \end{vmatrix}
=e^{4x}\begin{vmatrix}1&1\\ 2+i & 2-i\end{vmatrix}
=-2ie^{4x}\,
u'_1\, =\frac{1}{W}\begin{vmatrix}0& e^{(2-i)x}\\ \sin(kx)& (2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}
=-\frac{i}2\sin(kx)e^{(-2-i)x}
u'_2\, =\frac{1}{W}\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}& 0\\ (2+i)e^{(2+i)x}& \sin(kx)\end{vmatrix}
 =\frac{i}{2}\sin(kx)e^{(-2+i)x}.

Використовуючи список інтегралів від експоненціальних функцій,

u_1\, =-\frac{i}{2}\int\sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx
=\frac{ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)
u_2\, =\frac i2\int\sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx
=\frac{ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).

І тому

y_p\, =\frac{i}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right) +\frac{i}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)
=\frac{(5-k^2)\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^2)^2+16}.

Задля інтересу зазначимо, це рівняння має фізичний зміст, описує вимушений гармонічний осцилятор, з тертям; у р представляє стійкий стан, а c_1y_1+c_2y_2 є перехідним станом.

Рівняння зі змінними коефіцієнтами[ред.ред. код]

Лінійне диференціальне рівняння порядку n зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x).

Приклади[ред.ред. код]

Простим прикладом є рівняння Коші-Ейлера, що часто використовуються в машинобудуванні

x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0.

Рівняння першого порядку[ред.ред. код]

Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

Dy(x) + f(x) y(x) = g(x).

Тут D - диференціальний оператор. Рівняння такого виду може бути розв'язане множенням на інтегруючий множник

e^{\int f(x)\,dx},

що дає

 Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},

спрощуючи за правилом добутку, дістанемо

 D (y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}

Звідси інтегруванням

 y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c ~,
 y(x) = {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}} ~.

Отже, розв'язком лінійного диференціального рівняння першого порядку

y'(x) + f(x) y(x) = g(x),

з коефіцієнтами, які можуть залежати від х, є:

y=e^{-a(x)}\left(\int g(x) e^{a(x)}\, dx + \kappa\right)

Зазначимо, що \kappa - стала інтегрування, і

a(x)=\int{f(x)\,dx}.

Компактна форма загального розв'язку

 y(x) = \int_a^x \! {[y(a) \delta(t-a)+g(t)] e^{-\int_t^x \!f(u)du}\, dt}\,.

\delta(x) - узагальнена дельта-функція Дірака.

Приклади[ред.ред. код]

Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку із сталими коефіцієнтами:

\frac{dy}{dx} + b y = 1.

Це рівняння має особливе значення для систем першого порядку на кшталт RC-схем (ємність-опір) і систем маса-демпфер.

В цьому випадку f(х) = b, g(х) = 1.

Тож розв'язком є

y(x) = e^{-bx} \left( e^{bx}/b+ C \right) = 1/b + C e^{-bx} .

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  • [1] напівлінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
  • [2] квазілінійного диференціального рівняння (в диспергуючих PDE Wiki)
  • [3] повністю нелінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
  • http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm

Примітки[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]