Ліпшицеве відображення

Ліпшицеве відображення — відображення $f\colon X\to Y$ між двома метричними просторами, застосування якого збільшує відстані не більше, ніж в деяку константу раз.

Визначення

Відображення $f$ метричного простору $(X,\;\rho_X)$ у метричний простір $(Y,\;\rho_Y)$ називається ліпшицевим, якщо знайдеться деяка константа $L$ (константа Ліпшиця цього відображення), така, що

$\rho_Y(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;y)$

при будь-яких $x,\;y\in X$. Цю умову називають умовою Ліпшиця.

Пов'язані визначення

• Відображення, що задовольняє вищенаведеній умові, називається також $L$-ліпшицевим.
• Нижня грань чисел $L$, що задовольняють вищенаведену нерівність, називається константою Ліпшиця відображення $f$.
• Відображення називається локально ліпшицевим, якщо для довільної точки області визначення існує окіл в якому відображення є ліпшицевим.
• Відображення $f\colon X\to Y$ називається біліпшицевим, якщо у нього існує обернене $f^{-1}\colon Y\to X$ і обидва $f$ і $f^{-1}$ є ліпшицевими.
• Відображення $f\colon X\to Y$ називається коліпшицевим, якщо існує константа $L$, така, що для будь-яких $x\in X$ і $y\in Y$ знайдеться $x'\in f^{-1}(y)$ таке, що

  $\rho_Y(f(x),\;y)\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;x').$

Властивості

• Будь-яке відображення Ліпшиця є абсолютно неперервним.
• Всюди диференційована функція $f \colon \R \to \R$ є ліпшицевою тоді і тільки тоді коли її похідна є обмеженою. Це випливає з теореми про середнє значення.
• Теорема Радемахера стверджує, що будь-яке ліпшицеве відображення, визначене на відкритій множині в евклідовому просторі, диференційовне на ньому майже всюди.

Варіації і узагальнення

• Поняття ліпшицевої функції природним чином узагальнюється на функції з обмеженим модулем неперервності, оскільки умова Ліпшиця записується так:

$\omega(f,\;\delta)\leqslant L{\cdot}\delta.$

Посилання

• Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis