Ліпшицеве відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ліпшицеве відображеннявідображення f\colon X\to Y між двома метричними просторами, застосування якого збільшує відстані не більше, ніж в деяку константу раз.

Визначення[ред.ред. код]

Відображення f метричного простору (X,\;\rho_X) у метричний простір (Y,\;\rho_Y) називається ліпшицевим, якщо знайдеться деяка константа L (константа Ліпшиця цього відображення), така, що

\rho_Y(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;y)

при будь-яких x,\;y\in X. Цю умову називають умовою Ліпшиця.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Відображення, що задовольняє вищенаведеній умові, називається також L-ліпшицевим.
  • Нижня грань чисел L, що задовольняють вищенаведену нерівність, називається константою Ліпшиця відображення f.
  • Відображення називається локально ліпшицевим, якщо для довільної точки області визначення існує окіл в якому відображення є ліпшицевим.
  • Відображення f\colon X\to Y називається біліпшицевим, якщо у нього існує обернене f^{-1}\colon Y\to X і обидва f і f^{-1} є ліпшицевими.
  • Відображення f\colon X\to Y називається коліпшицевим, якщо існує константа L, така, що для будь-яких x\in X і y\in Y знайдеться x'\in f^{-1}(y) таке, що
    \rho_Y(f(x),\;y)\leqslant L\cdot\rho_X(x,\;x').

Властивості[ред.ред. код]

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

  • f(t,x) є Lipx(Ω), якщо для будь-яких x1, х2, х1≠х2 ||f(t,x1)-f(t,х2)|| ≤ η||(x1- х2)|| існує η(t):R+→R+, η(t)→0 R+:[t0,∞], η(t) є C[t0,∞],

||f(t,x1)-f(t,х2)||< η(t)||x1- х2|| при n=1  ||…||→|…|   η(t)≤ L    для будь-яких t ≥ t0

L=const Lipshits.

  • Поняття ліпшицевої функції природним чином узагальнюється на функції з обмеженим модулем неперервності, оскільки умова Ліпшиця записується так:
\omega(f,\;\delta)\leqslant L{\cdot}\delta.

Посилання[ред.ред. код]