Максимальний ідеал

Максимальним ідеалом кільця в абстрактній алгебрі називається всякий власний ідеал кільця, що не міститься в жодному іншому власному ідеалі.

Властивості

• Характеристична властивість максимального ідеалу: ідеал $I\,$ кільця $R\,$ максимальний, тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце $R/I\,$ є простим кільцем.

Дійсно, якщо кільце $R/I\,$ має власний ідеал $M\,$, то $I+M$ буде власним ідеалом кільця $R\,$, що суперечить максимальності ідеалу $I\,$.

Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею

• Теорема Круля: Множина всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно з (лемою Цорна) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали, окрім того, для будь-якого власного ідеалу $\ I$ кільця $\ R$ існує максимальний ідеал кільця $\ R$, який його містить.

• Якщо елемент $a\,$ кільця $R\,$ не оборотний, тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент $a\,$ оборотний, всякий ідеал, який його містить, збігається з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі, і відповідно в жодному максимальному.

• Якщо всі необоротні елементи кільця $R\,$ утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці $R\,$ немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці $R\,$ існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце $R\,$ називається локальним.

• Для комутативного кільця ідеал $I\,$ є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є полем.

• Якщо кільце $\ R$ має структуру банахової алгебри над полем комплексних чисел $\C$, фактор-кільце по максимальному ідеалу $\ R/I$ ізоморфне $\C$. В цьому випадку ідеал $\ I$ визначає гомоморфізм кільця $\ R$ в полі $\C$, ядром якого є ідеал $\ I$.
  Для кожного a існує єдина $\lambda_a$, таке що $a-\lambda_a e\in I$ (e - одиниця алгебри R). Відповідність $a\to \lambda_a$ і є той самий гомоморфізм.

• З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є простим.

Для кілець без одиниці максимальні ідеали можуть не бути простими. Наприклад в кільці парних цілих чисел $2\Z$ ідеал $4\Z$ є максимальним, проте $2 \cdot 2 = 4,$ хоч $2 \notin 4\Z.$

Приклади

• У кільці цілих чисел $\Z$ максимальними ідеалами є всі прості ідеали: якщо p - просте число, тоді ідеал (p)=pZ максимальний. Наприклад, парні числа утворюють максимальний ідеал, а числа, кратні 4 - утворюють, але не максимальний - цей ідеал міститься в ідеалі парних чисел.
• У кільці многочленів k[X,Y], де k - алгебраїчно замкнуте поле, максимальні ідеали мають вигляд $I_{a,b} = \{f\in k[X,Y]: f(a,b) = 0 \},\quad a,b\in k$.
• Кільце формальних степеневих рядів $k[[X]]$ над полем k — локальне кільце. Необоротними елементами в цьому кільці є ті ряди вільний член яких рівний нулю. Вони утворюють ідеал,що є єдиний максимальним ідеалом у цьому кільці.
• У кільці R = C[a, b] неперервних функцій на відрізку множина функцій, що приймають значення 0 в деякій точці $x \in [a, b].$ є максимальним ідеалом. Усі максимальні ідеали кільця R мають такий вигляд.

Кільця без максимальних ідеалів

Теорема Круля гарантує існування максимального ідеалу для кілець з одиницею. Проте в кільцях без одиниці максимальні ідеали можуть не існувати. Прикладом такого кільця може бути кільце рядів: :$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{\alpha_n}$ де $a_n \in \mathbb{R}$ і $0 < \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots$ дійсні числа для яких $\lim_{x\to\infty}\alpha_n = \infty$.

Для ненульового такого ряду можна вважати $a_n \neq 0.$ Для $f=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{\alpha_n} \in R$ де $0 < \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots$ і $a_1 \neq 0$ визначимо $\deg f = \alpha_1$. Очевидно $\deg (f \cdot g)=\deg f + \deg g$ і R є областю цілісності без одиниці.

Припустимо I максимальний ідеал кільця R. Нехай $S=\mathbb{R} + R$ і $g \in R \setminus I$. Визначимо $J=Sg$. Тоді J є ідеалом R. Оскільки $\forall h \in J: \ \deg h \geq \deg g,$ то $J \neq R$.

Отже J є власним ідеалом в R. Також $I \neq J$ оскільки $g \in J \setminus I$. Нехай $f \in I$. Якщо f = 0, тоді очевидно $f \in J$. Розглянемо тепер $f \neq 0$. Припустимо $\deg g > \deg f$. Тоді $\frac{g}{f} \in R$ і звідси $g \in Rf \subseteq I$, що суперечить визначенню g. Тому $\deg g \leq \deg f$ і звідси $\frac{f}{g} \in S$. Отже $f \in Sg = J$. Відповідно $I \subset J \subset R$, що суперечить максимальності ідеалу $I$. $\ \Box$

Література

• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 
• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564.