Марківський момент часу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Марківський момент часу в теорії випадкових процесів — це випадкова величина, яка не залежить від майбутнього розглянутого випадкового процесу.

Дискретний випадок[ред.ред. код]

Визначення[ред.ред. код]

Нехай дана послідовність випадкових величин \{Y_n\}_{n \ge 0}. Тоді випадкова величина \tau називається марківським моментом (часу), якщо для будь-якого n \ge 0 подія \{\tau \le n\} залежить тільки від випадкових величин Y_0,\ldots, Y_n.

Приклад[ред.ред. код]

нехай \{Y_n\}_{n \ge 0} — послідовність незалежних нормальних випадкових величин. Нехай L \in \mathbb{R}, і

\tau = \inf \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}

— момент першого досягнення процесом \{Y_n\} рівня L. Тоді \tau - марківський момент, бо \tau \le n тоді і тільки тоді, коли існує i\in \mathbb{N},\; 0 \le i \le n таке, що Y_i \ge L. Таким чином подія \{\tau \le n\} залежить лише від поведінки процесу до моменту часу n.

Нехай тепер

 \sigma = \sup \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}

— момент останнього досягнення процесом \{Y_n\} рівня L. Тоді \sigma не є марківським моментом, бо подія \{\sigma \le n\} передбачає знання поведінки процесу в майбутньому.

Загальний випадок[ред.ред. код]

Визначення[ред.ред. код]

  • Нехай дано ймовірнісний простір (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) з фільтрацією \{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}, де  T \subset [0, \infty). Тоді випадкова величина \tau, яка приймає значення в T \cup \{\infty\} називається марківським моментом відносно даної фільтрації, якщо \{ \tau \le t \} \in \mathcal{F}_t,\quad \forall t \in T.
  • Якщо дано процес \{X_t\}_{t \in T}, і \mathcal{F}_t = \sigma (X_s \mid s \le t) - його природні σ-алгебри, то кажуть, що \tau — марківський момент відносно процесу \{X_t\}.
  • Марківський момент називається моментом зупинки, якщо він скінченний майже напевно, тобто:\mathbb{P}(\tau < \infty) = 1 .

Властивості[ред.ред. код]

Якщо \tau і \sigma — марківські моменти, то

  • \tau + \sigma — марківський момент;
  • \tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau, \sigma) — марківський момент;
  • \tau \vee \sigma \equiv \max(\tau, \sigma) — марківський момент.

Зауваження[ред.ред. код]

Момент зупинки може не мати скінченного математичного сподівання.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай \{W_t\}_{t \ge 0} — стандартний вінерівський процес. Нехай  \alpha > 0. Визначимо

\tau = \inf \{t \ge 0 \mid W_t \ge \alpha \}.

Тоді \tau — марківський момент, який має розподіл, що задається щільністю ймовірності

f_{\tau}(t) = \frac{\alpha}{\sqrt{2 \pi t^3}}e^{-\frac{\alpha^2}{2t}},\quad t \ge 0.

Зокрема \tau — момент зупинки. Проте,

\mathbb{E} \tau = \infty.