Марківський момент часу

Марківський момент часу в теорії випадкових процесів — це випадкова величина, яка не залежить від майбутнього розглянутого випадкового процесу.

Дискретний випадок

Визначення

Нехай дана послідовність випадкових величин $\{Y_n\}_{n \ge 0}$. Тоді випадкова величина $\tau$ називається марківським моментом (часу), якщо для будь-якого $n \ge 0$ подія $\{\tau \le n\}$ залежить тільки від випадкових величин $Y_0,\ldots, Y_n$.

Приклад

нехай $\{Y_n\}_{n \ge 0}$ — послідовність незалежних нормальних випадкових величин. Нехай $L \in \mathbb{R}$, і

$\tau = \inf \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}$

— момент першого досягнення процесом $\{Y_n\}$ рівня $L$. Тоді $\tau$ - марківський момент, бо $\tau \le n$ тоді і тільки тоді, коли існує $i\in \mathbb{N},\; 0 \le i \le n$ таке, що $Y_i \ge L$. Таким чином подія $\{\tau \le n\}$ залежить лише від поведінки процесу до моменту часу $n$.

Нехай тепер

$\sigma = \sup \{ n \ge 0 \mid Y_n \ge L \}$

— момент останнього досягнення процесом $\{Y_n\}$ рівня $L$. Тоді $\sigma$ не є марківським моментом, бо подія $\{\sigma \le n\}$ передбачає знання поведінки процесу в майбутньому.

Загальний випадок

Визначення

• Нехай дано ймовірнісний простір $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ з фільтрацією $\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}$, де $T \subset [0, \infty)$. Тоді випадкова величина $\tau$, яка приймає значення в $T \cup \{\infty\}$ називається марківським моментом відносно даної фільтрації, якщо $\{ \tau \le t \} \in \mathcal{F}_t,\quad \forall t \in T$.

• Якщо дано процес $\{X_t\}_{t \in T}$, і $\mathcal{F}_t = \sigma (X_s \mid s \le t)$ - його природні σ-алгебри, то кажуть, що $\tau$ — марківський момент відносно процесу $\{X_t\}$.

• Марківський момент називається моментом зупинки, якщо він скінченний майже напевно, тобто:$\mathbb{P}(\tau < \infty) = 1$.

Властивості

Якщо $\tau$ і $\sigma$ — марківські моменти, то

• $\tau + \sigma$ — марківський момент;
• $\tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau, \sigma)$ — марківський момент;
• $\tau \vee \sigma \equiv \max(\tau, \sigma)$ — марківський момент.

Зауваження

Момент зупинки може не мати скінченного математичного сподівання.

Приклад

Нехай $\{W_t\}_{t \ge 0}$ — стандартний вінерівський процес. Нехай $\alpha > 0$. Визначимо

$\tau = \inf \{t \ge 0 \mid W_t \ge \alpha \}$.

Тоді $\tau$ — марківський момент, який має розподіл, що задається щільністю ймовірності

$f_{\tau}(t) = \frac{\alpha}{\sqrt{2 \pi t^3}}e^{-\frac{\alpha^2}{2t}},\quad t \ge 0$.

Зокрема $\tau$ — момент зупинки. Проте,

$\mathbb{E} \tau = \infty$.