Мартингал

Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес, математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.

Мартингали з дискретним часом

• Послідовність випадкових величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови

1. $\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N}$;
2. $\mathsf{E}[X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}$.

• Нехай задана також інша послідовність мартингалів $\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Тоді послідовність випадкових величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ називається мартингалом відносно $\{Y_n\}\,\!$ або $\{Y_n\}\,\!$-мартингалом, якщо

1. $\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N}$;
2. $\mathsf{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}$.

• Найбільш загально нехай $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — ймовірнісний простір і $\{\mathcal{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ називається мартингалом, якщо виконуються умови:

1. Процес $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ є узгодженим з фільтрацією $\{\mathcal{F}_n\}_{n \in N}$.
2. $\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N}$;
3. $\mathsf{E}[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}$.

Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:

$\mathsf{E}[X_{n} \mid \mathcal{F}_m] = X_m$.

Мартингали з неперервним часом

Нехай задано ймовірнісний простір $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ з заданою на ньому фільтрацією $\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}$, де $T \subset \mathbb{R}$. Тоді випадковий процес $\{X_t\}_{t \in T}$ називається мартингалом відносно $\{\mathcal{F}_t\}$, якщо

1. $X_t\,$ вимірна відносно $\mathcal{F}_t$ для довільного $t \in T$.
2. $\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T$.
3. $\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t$.

Якщо в якості $\{\mathcal{F}_t\}$ взята природня фільтрація $\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}$, то $\{X_t\}\,\!$ називається просто мартингалом.

Суб(супер)мартингали

• Нехай задана послідовність випадкових величин $\{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Тоді послідовність випадкових величин $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ називається су́б(су́пер)мартингалом відносно $\{Y_n\}\,\!$, якщо

1. $\mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad n \in \mathbb{N};$
2. $\mathsf{E}[X_{n+1} \mid Y_1,\ldots,Y_n] \ge(\le) X_n, \quad n \in \mathbb{N}.$

• Випадковий процес $\{X_t\}_{t \in T},\; T \subset \mathbb{R}$ називається суб(супер)мартингалом відносно $\{\mathcal{F}_t\}$, якщо

1. $X_t\,\!$ вимірна відносно $\mathcal{F}_t$ для довільного $t \in T$.
2. $\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T$.
3. $\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \ge(\le) X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t$.

Якщо в якості $\{\mathcal{F}_t\}$ взята природна фільтрація $\mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}$, то $\{X_t\}\,\!$ називається просто суб(супер)мартингалом.

Властивості

• Якщо $\{X_t\}\,\!$ — мартингал, то $\mathsf{E}X_t = \mathrm{const}$.
• Якщо $\{X_t\}\,\!$ — субмартингал, то $\{-X_t\}\,\!$ — супермартингал.
• Якщо $\{X_t\}\,\!$ є мартингалом, а $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — опукла функція, то $\{f(X_t)\}\,\!$ — субмартингал. Якщо $f\,\!$ — вгнута функція, то $\{f(X_t)\}\,\!$ — супермартингал.

Приклади

• Вінерівський процес є мартингалом.
• Якщо { N_t : t ≥ 0 } є Пуассонівським процесом з параметроом λ, тоді випадковий процес { N_t − λt : t ≥ 0 } є мартингалом з неперервним часом.
• Мартингал Дуба
• Мартингал де Муавра

Література

• G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-857223-9
• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6