Математичне сподівання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Математи́чне сподіва́ння, середнє значення — одна з основних числових характеристик кожної числової змінної. Воно є узагальненим поняттям середнього значення сукупності чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну "вагу", ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної. [1]

Оскільки, випадкова величина може бути дискретною або задана густиною розподілу ймовірностей, тому теорія ймовірностей наводить два означення математичного сподівання.

Означення 1[ред.ред. код]

Нехай дискретна випадкова змінна X може набувати значення x_1,x_2,\ldots, відповідно з ймовірностями p(x_1),p(x_2),\ldots, причому \sum_{x} p(x)=1\,.

  • Означення Чебишова: Математичним сподіванням будь-якої величини називається сума всіх можливих для неї значень, помножених на ймовірності їх: [2]
\mu\,\equiv\operatorname {E}(X)=\sum_{x} x\,p(x),

де

\mu\, — це середнє значення випадкової величини X, областю можливих значень якої є множина \left\{X=x\right\};
\operatorname {E}оператор математичного сподівання;
\operatorname {E}(X) — математичне сподівання величини X.

Твердження[ред.ред. код]

  • Якщо є випадкова величина X\,, сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто \sum_{x} p(x)<1\,, то середнє значення такої величини визначається так: [3]
\mu=\operatorname{E}(X)=\frac {\sum_{x}xp(x)}{\sum_{x}p(x)}.

Означення 2[ред.ред. код]

Нехай випадкова змінна \xi задана густиною розподілу ймовірностей :p_{\xi}(x)\,, (x_{min}<x<x_{max}).

  • Математичним сподіванням такої числової змінної \xi, якщо воно існує, називають інтеграл, узятий по області існування її густини розподілу, від добутку цієї випадкової змінної на її густину розподілу, тобто:
\mu\equiv\,\operatorname{E}(\xi)=\int_{X} xp_\xi(x)dx.

Сподівання існує, якщо цей інтеграл абсолютно збіжний.

Ймовірність середнього значення[ред.ред. код]

P(\mu\,)=P(X)

Деякі формули для обчислення математичного сподівання[ред.ред. код]

Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним інтегралом Лебега-Стілтьєса. Розглянемо випадок композиції борелівської функції f та випадкової величини \xi:

\operatorname {E}(f\circ\xi)=\int_{X}f(x)dF_\xi(x),

де F_\xi (x) — функція розподілу випадкової величини \xi.

Від цієї залежності приходимо до такої формули:

\operatorname {E}(\xi)=\int_{X}xdF_\xi(x)

Деякі властивості математичного сподівання[ред.ред. код]

  1. Якщо \displaystyle \xi та \displaystyle \eta — незалежні інтегровні випадкові величини, то \displaystyle \operatorname{E}(\xi\cdot\eta)=\operatorname{E}(\xi)\cdot \operatorname{E}(\eta).
  2. Якщо \displaystyle \xi та \displaystyle \eta — інтегровні випадкові величини, то \displaystyle \operatorname{E}(\xi+\eta)=\operatorname{E}(\xi)+\operatorname{E}(\eta).
  3. Якщо \displaystyle \xi — інтегровна випадкова величина, C\in\mathbb{R} то \operatorname{E}(C\xi)=C\cdot \operatorname{E}(\xi).

Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання[ред.ред. код]

Нехай випадкова величина \displaystyle \xi розподілена за законом Коші з параметрами \displaystyle a та \displaystyle b, тобто \mathcal{L}(\xi)=K(a,b). Ця випадкова величина має щільність:

p_\xi(x)=\frac{b}{\pi ((x-a)^2+b^2)}.

Знайдемо її математичне сподівання.

\operatorname{E}(\xi)=\int_\Omega\xi dP=\int_{X}xp_\xi(x)dx=\int_{X}\frac{bx}{\pi ((x-a)^2+b^2)}=
=b\int_{X}\frac{x-a+a}{\pi ((x-a)^2+b^2)}=\frac{b}{2\pi}\ln((x-a)^2+b^2)+a\arctan{\frac{x-a}{b}}\bigg|_{x_{min}}^{x_{max}}.

Наявність логарифма в останньому виразі робить неможливим обчислення цього інтегралу (внаслідок необмеженості логарифма при необмеженому аргументі), що і доводить неінтегровність випадкової величини \displaystyle \xi.

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К.: Знання, 2007. — 556 с. — ISBN 966-346-284-1.
  2. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений. — Математический анализ. — М.- Л., 1947. — С. 431.
  3. а б Пряха Б. Оцінювання середніх значень // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва, 2007, випуск I(13): Зб. наук. пр. — Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка". — С. 140-145.
  4. Пряха Б.Г. Про числові характеристики результатів вимірювань // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: ЧДІЕУ, 2008. — С. 97-108. — ISBN 978-966-2188-04-2.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]