Математичне сподівання

Математи́чне сподіва́ння, середнє значення — одна з основних числових характеристик кожної числової змінної. Воно є узагальненим поняттям середнього значення сукупності чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну "вагу", ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної.

Оскільки, випадкова величина може бути дискретною або задана густиною розподілу ймовірностей, тому теорія ймовірностей наводить два означення математичного сподівання.

Означення 1

Нехай дискретна випадкова змінна $X$ може набувати значення $x_1,x_2,\ldots,$ відповідно з ймовірностями $p(x_1),p(x_2),\ldots,$ причому $\sum_{x} p(x)=1\,$.

• Означення Чебишова: Математичним сподіванням будь-якої величини називається сума всіх можливих для неї значень, помножених на ймовірності їх:

$\mu\,\equiv\operatorname {E}(X)=\sum_{x} x\,p(x)$,

де

$\mu\,$ — це середнє значення випадкової величини $X$, областю можливих значень якої є множина $\left\{X=x\right\}$;

$\operatorname {E}$ — оператор математичного сподівання;

$\operatorname {E}(X)$ — математичне сподівання величини $X$.

Твердження

• Якщо є випадкова величина $X\,$, сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто $\sum_{x} p(x)<1\,$, то середнє значення такої величини визначається так:

$\mu=\operatorname{E}(X)=\frac {\sum_{x}xp(x)}{\sum_{x}p(x)}.$

Означення 2

Нехай випадкова змінна $\xi$ задана густиною розподілу ймовірностей :$p_{\xi}(x)\,$, $(x_{min}<x<x_{max})$.

• Математичним сподіванням такої числової змінної $\xi$, якщо воно існує, називають інтеграл, узятий по області існування її густини розподілу, від добутку цієї випадкової змінної на її густину розподілу, тобто:

$\mu\equiv\,\operatorname{E}(\xi)=\int_{X} xp_\xi(x)dx$.

Сподівання існує, якщо цей інтеграл абсолютно збіжний.

Ймовірність середнього значення

• Ймовірність середнього значення дорівнює ймовірності випадкової величини в сукупності значень якої визначається це середнє значення, тобто

$P(\mu\,)=P(X)$

Деякі формули для обчислення математичного сподівання

Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним інтегралом Лебега-Стілтьєса. Розглянемо випадок композиції борелівської функції $f$ та випадкової величини $\xi$:

$\operatorname {E}(f\circ\xi)=\int_{X}f(x)dF_\xi(x)$,

де $F_\xi (x)$ — функція розподілу випадкової величини $\xi$.

Від цієї залежності приходимо до такої формули:

$\operatorname {E}(\xi)=\int_{X}xdF_\xi(x)$

Деякі властивості математичного сподівання

1. Якщо $\displaystyle \xi$ та $\displaystyle \eta$ — незалежні інтегровні випадкові величини, то $\displaystyle \operatorname{E}(\xi\cdot\eta)=\operatorname{E}(\xi)\cdot \operatorname{E}(\eta)$.
2. Якщо $\displaystyle \xi$ та $\displaystyle \eta$ — інтегровні випадкові величини, то $\displaystyle \operatorname{E}(\xi+\eta)=\operatorname{E}(\xi)+\operatorname{E}(\eta)$.
3. Якщо $\displaystyle \xi$ — інтегровна випадкова величина, $C\in\mathbb{R}$ то $\operatorname{E}(C\xi)=C\cdot \operatorname{E}(\xi)$.

Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання

Нехай випадкова величина $\displaystyle \xi$ розподілена за законом Коші з параметрами $\displaystyle a$ та $\displaystyle b$, тобто $\mathcal{L}(\xi)=K(a,b)$. Ця випадкова величина має щільність:

$p_\xi(x)=\frac{b}{\pi ((x-a)^2+b^2)}$.

Знайдемо її математичне сподівання.

$\operatorname{E}(\xi)=\int_\Omega\xi dP=\int_{X}xp_\xi(x)dx=\int_{X}\frac{bx}{\pi ((x-a)^2+b^2)}=$

$=b\int_{X}\frac{x-a+a}{\pi ((x-a)^2+b^2)}=\frac{b}{\pi}\ln((x-a)^2+b^2)+a\arctan{\frac{x-a}{b}}\bigg|_{x_{min}}^{x_{max}}$.

Наявність логарифма в останньому виразі робить неможливим обчислення цього інтегралу (внаслідок необмеженості логарифма при необмеженому аргументі), що і доводить неінтегровність випадкової величини $\displaystyle \xi$.

Див. також

• Ковзаюче середнє
• Дисперсія випадкової величини
• Нормальний розподіл
• Центральний момент

Література

• Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. — К.: «Выща школа», 1988. — 438 c.