Математичне сподівання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Математи́чне сподіва́ння є однією з найважливіших числових характеристик випадкової величини. Воно вказує на середнє значення випадкової величини, тобто на те, чому ця величина дорівнює «в середньому».

Незважаючи на те, що клас інтегровних за Лебегом функцій досить широкий, все ж існують деякі досить відомі випадкові величини, що не мають математичного сподівання.

Зміст

1 Означення
2 Деякі формули для обчислення математичного сподівання
3 Деякі властивості математичного сподівання
4 Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання
5 Дивіться також
6 Література

[ред.] Означення

Нехай $(\Omega,\mathcal{A},P)$ — імовірнісний простір, $ξ$ — випадкова величина. Число (якщо воно існує)

$M\xi=\int\limits_{\Omega}\xi dP$

називається математичним сподіванням (середнім значенням) випадкової величини $ξ$ .

Випадкова величина, що має математичне сподівання, називається інтегровною.

[ред.] Деякі формули для обчислення математичного сподівання

Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним інтегралом Лебега-Стілтьєса. Розглянемо випадок композиції борелівської функції $f$ та випадкової величини $ξ$ :

$M(f\circ\xi)=\int_{-\infty}^\infty f(x)dF_\xi(x)$ ,

де $F ξ (x)$ — функція розподілу випадкової величини $ξ$ .

З останньої формули випливають всі інші формули:

$M(\xi)=\int_{-\infty}^\infty xdF_\xi(x)$
Якщо випадкова величина $ξ$ є абсолютно неперервною і має щільність $p ξ (x)$ то $M(\xi)=\int_{-\infty}^\infty p_\xi(x)dx$
Якщо випадкова величина $ξ$ є простою, то $M(\xi)=\sum_k p_k x_k\,$ , де $x k$ — можливі значення випадкової величини $ξ$ , а $p k$ — ймовірності їх набуття. Остання сума може містити як скінченну, так і нескінченну кількість доданків.

[ред.] Деякі властивості математичного сподівання

Якщо $\displaystyle \xi$ та $\displaystyle \eta$ — незалежні інтегровні випадкові величини, то $\displaystyle M(\xi\cdot\eta)=M(\xi)\cdot M(\eta)$ .
Якщо $\displaystyle \xi$ та $\displaystyle \eta$ — інтегровні випадкові величини, то $\displaystyle M(\xi+\eta)=M(\xi)+M(\eta)$ .
Якщо $\displaystyle \xi$ — інтегровна випадкова величина, $C\in\mathbb{R}$ то $M(C\xi)=C\cdot M(\xi)$ .

[ред.] Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання

Нехай випадкова величина $\displaystyle \xi$ розподілена за законом Коші з параметрами $\displaystyle a$ та $\displaystyle b$ , тобто $\mathcal{L}(\xi)=K(a,b)$ . Ця випадкова величина має щільність:

$p_\xi(x)=\frac{b}{\pi (x-a)^2+b^2}$ .

Знайдемо її математичне сподівання.

$M\xi=\int_\Omega\xi dP=\int_{-\infty}^\infty xp_\xi(x)dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{bx}{\pi ((x-a)^2+b^2)}=$ $=b\int_{-\infty}^\infty\frac{x-a+a}{\pi ((x-a)^2+b^2)}=\frac{b}{\pi}\ln((x-a)^2+b^2)+a\arctan{\frac{x-a}{b}}\bigg|_{x=-\infty}^{x=\infty}$ .

Наявність логарифма в останньому виразі робить неможливим обчислення цього інтегралу (внаслідок необмеженості логарифма при необмеженому аргументі), що і доводить неінтегровність випадкової величини $\displaystyle \xi$ .

[ред.] Дивіться також

У Вікіпедії є портал

«Математика»

[ред.] Література

И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. — Киев: «Выща школа», 1988, 438 c.

Математичне сподівання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Означення

[ред.] Деякі формули для обчислення математичного сподівання

[ред.] Деякі властивості математичного сподівання

[ред.] Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання

[ред.] Дивіться також

[ред.] Література

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами