Матриця повороту

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матриця поворотуматриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.

В новій системі координат вектор \ x \, переходить у вектор  x^{\prime} . Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок

\ x^\prime = R \cdot x.

Цей зв'язок визначається матрицею повороту \ R.

Властивості[ред.ред. код]

  • Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то  (x^\prime)^T \cdot x^\prime = x^T R^T \cdot R x = x^T \cdot x,
отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:
\ R^{-1} = R^T (обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).
  • Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то
\ \det R = +1 (детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).
  • Добутком матриць повороту є матриця повороту:
 (R_1 R_2)^T (R_1 R_2) = R_2^T (R_1^T R_1) R_2 = I,
\ \det (R_1 R_2) = (\det R_1) (\det R_2) = +1.

Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).

  • Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:
R ( \vec{a} \times \vec{b}) = R\vec{a} \times R\vec{b}.

Матриця повороту на площині[ред.ред. код]

Поворот в площині на кут  \varphi переводить точку  (x,y) в точку  (x',y')

У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд

 R(\varphi) = \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi  \end{bmatrix},

де  \varphi  — кут повороту проти годинникової стрілки.

Матриця повороту в тривимірному просторі[ред.ред. код]

  • Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:

R_x(\varphi) = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\varphi & -\sin\varphi \\
0 & \sin\varphi & \cos\varphi \\
\end{bmatrix}, \qquad

R_y(\varphi) = \begin{bmatrix}
\cos\varphi & 0 & \sin\varphi \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\varphi & 0 & \cos\varphi \\
\end{bmatrix}, \qquad

R_z(\varphi) = \begin{bmatrix}
\cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\
\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}.
  • Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як
\ R = R_z(\varphi)\cdot R_x(\theta) \cdot R_z(\psi).
 R_\bold{u}(\varphi) = \bold{uu}^T + (I - \bold{uu}^T)\cos\varphi + \big[\bold{u}\big]_{\times}\sin\varphi,

де

\big[\bold{u}\big]_{\times}матриця векторного добутку,
\bold{u \otimes u} = \bold{uu}^Tтензорний добуток векторів (результатом є матриця).

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:

перший — проектор на лінію вектора u,
інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.

Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.

Матриця повороту в просторі Мінковського[ред.ред. код]

У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе, як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.

Дивись також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]