Матриця розсіяння

Матриця розсіяння або S-матриця - оператор, який зв'язує між собою початкову і кінцеву хвильові функції квантової системи при розсіянні. Позначається зазвичай $\hat{S}$:

$\psi(\infty) = \hat{S} \psi(-\infty)$.

де $\psi (-\infty)$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу в минулому, до акту розсіяння, коли частинки перебувають дуже далеко одна від одної і взаємодією між ними можна знехтувати, а $\psi (\infty)$ позначає хвильову функцію в нескінченно віддалений момент часу після акту розсіяння, коли знову ж, частинки вже встигли розлетітися на таку віддаль, що взаємодією між ними можна знехтувати.

S-матриця унітарна, тобто

$\hat{S}^\dagger \hat{S} = 1$,

де значок $^\dagger$ позначає ермітове спряження.

Оператор переходу

Оператор

$\hat{\mathcal{T}} = \hat{S} - 1$

називають оператором переходу.

Розклад

Гамільтоніан системи частинок, які розсіюються одна на іншій можна записати у вигляді

$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V} = \hat{H}_0^\prime + \hat{V}^\prime$.

В цьому виразі гамільтоніан ситеми частинок до розсіяння і після нього розбивається на різні складові для загальності — при зіткненнях склад системи може змінитися, наприклад, електрон може вибити інший електрон із атома.

Якщо функції $\varphi_\alpha$ є власними функціями оператора $\hat{H}_0$:

$\hat{H}_0 \varphi_\alpha = E_\alpha \varphi_\alpha$,

а функції $\varphi_\beta$ є власними функціями оператора $\hat{H}_0^\prime$:

$\hat{H}_0^\prime \varphi_\beta = E_\beta \varphi_\beta$,

то хвильову функцію початкового і кінцевого станів можна розкласти

$\psi(-\infty) = \sum_\alpha c_\alpha \varphi_\alpha$

$\psi(\infty) = \sum_\beta \tilde{c}_\beta \varphi_\beta$

Тоді

$\tilde{c}_\beta = \sum_\alpha S_{\beta\alpha} c_\alpha$

Із цього виразу видно, що $S_{\beta\alpha}$ є матрицею, загалом нескінченного рангу. Завдяки цьому S-матриця й отримала свою назву.

Імовірність переходу

Імовірність переходу системи із стану $\alpha$ в стан $\beta$ визначається елементом матриці переходу $\mathcal{T}_{\beta\alpha}$:

$W_{\alpha \rightarrow \beta} = |\mathcal{T}_{\beta\alpha}|^2$

Імовірність переходу в одиницю часу

Беручи до уваги, що енергія системи є інтегралом руху, матрицю переходу запишемо у вигляді:

$\mathcal{T}_{\beta\alpha} = -2 \pi i t_{\beta\alpha} \delta(E_{\alpha}-E_{\beta})$

Тоді загальна імовірність переходу за нескінченний проміжок часу $W_{\alpha \rightarrow \beta}$ дорівнює:

$W_{\alpha \rightarrow \beta} = (2 \pi)^2 |t_{\beta\alpha}|^2 [\delta(E_{\alpha}-E_{\beta})]^2 = (2 \pi)^2 |t_{\beta\alpha}|^2 \delta(E_{\alpha}-E_{\beta}) \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 \pi \hbar} \int_{-\frac{1}{2}T}^{\frac{1}{2}T} dt \exp[\frac{i}{\hbar}(E_{\alpha}-E_{\beta})t] = \frac{2 \pi}{\hbar} |t_{\beta\alpha}|^2 \delta(E_{\alpha}-E_{\beta}) \lim_{T \to \infty} T$

Імовірність переходу в одиницю часу $w_{\alpha \rightarrow \beta}$ одержимо, поділивши повну імовірність $W_{\alpha \rightarrow \beta}$ на повний проміжок часу $T$:

$w_{\alpha \rightarrow \beta} = \frac{2 \pi}{\hbar} |t_{\beta\alpha}|^2 \delta(E_{\alpha}-E_{\beta})$

Історія

Матрицю розсіяння ввів у обіг в 1937 році Джон Вілер, а в 1940 році цю ідею підхопив Вернер Гейзенберг.

Дивіться також

• Оператор еволюції

Джерела

• Ситенко О. Г. Теорія розсіяння. — К.: Либідь, 1993. — 332 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.