Матриця угрупування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матриця угрупування — лінеаризація рівнянь Лотки-Вольтерри в стаціонарній точці. Власне число матриці угрупування визначає стабільність в стаціонарній точці.

Рівняння Лотки-Вольтерри мають такий вигляд:

 \begin{align} 
\frac{dx}{dt} &= x(\alpha - \beta y) \\
\frac{dy}{dt} &= - y(\gamma - \delta  x),
\end{align}

де x(t) визначає число хижаків, y(t) число жертв, іα, β, γ and δ — константи. Лінеаризація цих диференціальних рівнянь в стаціонарній точці (x*, y*) має вигляд

 \begin{bmatrix} \frac{du}{dt} \\ \frac{dv}{dt} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix},

де u = xx* і v = yy*. Матриця A називаєтья мартицею угрупування. Якщо A має власні числа з позитивнми дійсними значеннями, стаціонарний стан є нестабільним, але якщо усі власні числа приймають негативні дійсні значення, то стаціонарний стан є стабільним.

Посилання[ред.ред. код]

  • Murray, James D. (2002), Mathematical Biology I. An Introduction, Interdisciplinary Applied Mathematics, 17 (3rd вид.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95223-9 .