Матриці Адамара

Ма́триці Адама́ра — в математиці, це ортогональні квадратні матриці, елементи яких можуть приймати значення тільки (+1) та (-1). Названі на честь французького математика Жака Адамара.

Такі матриці застосовуваться в алгоритмах коректування помилок (коди Адамара, коди Ріда-Мюллера).

Властивості

• Матриця Адамара H порядку n задовільняє рівнянню:

$H^{\mathrm{T}} H = n I \$

де I — одинична матриця розміру n.

• Отже

$\ \det H =\pm \; n^{n/2}$.

• Розмір матриць Адамара може бути 1, 2 чи бути кратним 4.

• Будь-які 2 довільні стовпці чи рядки мають рівно половину пар елементів, що збігаються.

Процедура побудови Сильвестра

Одним з способів побудови матриць Адамара великих розмірностей є рекурсивна процедура Сильвестра. Якщо H — матриця Адамара розміру n. Тоді

$\begin{bmatrix} H & H \\ H & -H\end{bmatrix}$ є матрицею Адамара порядку 2n.

$H_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}, \quad H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix}, \quad ... \quad H_{2^{k+1}} = \begin{bmatrix} H_{2^k} & H_{2^k}\\ H_{2^k} & -H_{2^k}\end{bmatrix} = H_2\otimes H_{2^k},$

де $\ k \in N$, а $\otimes$ означає добуток Кронекера.

Такі матриці мають додаткові властивості:

• матриці є симетричними;
• слід матриці дорівнює нулю;
• всі елементи першого рядка і першого стовпця позитивні, рівні (+1).
• всі інші рядки і стовпці мають порівну негативних і позитивних елементів.

Послідовність матриць побудованих таким чином і з переставленими рядками/стовпцями таким чином, щоб:

1. матриця залишалась симетричною
2. кількість змін знаків стовпцях наростала зліва паправо

ще називається матрицями Волша.

$W_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ \end{bmatrix}$

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). «IX». Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с.