Матриці Адамара

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ма́триці Адама́ра — в математиці, це ортогональні квадратні матриці, елементи яких можуть приймати значення тільки (+1) та (-1). Названі на честь французького математика Жака Адамара.

Такі матриці застосовуваться в алгоритмах коректування помилок (коди Адамара, коди Ріда-Мюллера).

Недоведена гіпотеза Адамара стверджує, що матриця Адамара порядку 4k існує для кожного натурального числа k.

Властивості[ред.ред. код]

  • Матриця Адамара H порядку n задовільняє рівнянню:
 H^{\mathrm{T}} H = n I \

де I — одинична матриця розміру n.

  • Отже
\ \det H =\pm \; n^{n/2}.
  • Розмір матриць Адамара може бути 1, 2 чи бути кратним 4.
  • Будь-які 2 довільні стовпці чи рядки мають рівно половину пар елементів, що збігаються.

Процедура побудови Сильвестра[ред.ред. код]

Одним з способів побудови матриць Адамара великих розмірностей є рекурсивна процедура Сильвестра. Якщо H — матриця Адамара розміру n. Тоді

\begin{bmatrix} H & H \\ H & -H\end{bmatrix} є матрицею Адамара порядку 2n.

H_1 = \begin{bmatrix}
1      \end{bmatrix},
\quad
H_2 = \begin{bmatrix}
1 &  1 \\
1 & -1 \end{bmatrix},
\quad
H_4 = \begin{bmatrix}
1 &  1  & 1 & 1\\
1 & -1  & 1 & -1\\
1 & 1   & -1 & -1\\
1 & -1 & -1  & 1\\
\end{bmatrix},
\quad
... 
\quad
H_{2^{k+1}} = \begin{bmatrix}
H_{2^k} &  H_{2^k}\\
H_{2^k}  & -H_{2^k}\end{bmatrix} = H_2\otimes H_{2^k},

де \ k \in N, а \otimes означає добуток Кронекера.

Такі матриці мають додаткові властивості:

  • матриці є симетричними;
  • слід матриці дорівнює нулю;
  • всі елементи першого рядка і першого стовпця позитивні, рівні (+1).
  • всі інші рядки і стовпці мають порівну негативних і позитивних елементів.

Послідовність матриць побудованих таким чином і з переставленими рядками/стовпцями таким чином, щоб:

  1. матриця залишалась симетричною
  2. кількість змін знаків стовпцях наростала зліва паправо

ще називається матрицями Волша.


W_4 = \begin{bmatrix}
1 &  1  & 1 & 1\\
1 & 1   & -1 & -1\\
1 & -1 & -1  & 1\\
1 & -1  & 1 & -1\\
\end{bmatrix}

Джерела[ред.ред. код]