Матриці Гелл-Манна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матриці Гелл-Манна — одне з представлень інфінітоземальних генераторів спеціальної унітарної групи SU(3). Вони використовуються в квантовій хромодинаміці і є узагальненням матриць Паулі.

Всього існує 8 лінійно незалежних матриць 3x3 із одиничним визначником. Їх можна вибрати в наступному вигляді

\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Це ермітові матриці. Слід усіх матриць  \lambda_i дорівнює нулю.

 \text{Sp}\; \lambda_j = 0 .

Крім того

 \text{Sp}\; \lambda_i \lambda_j = 3 \delta_{ij} ,

де  \delta_ij - символ Кронекера.

Матриці  g_i визначаються як

 g_i = \frac{1}{2}\lambda_i .

Комутатори цих матриць задовольняють співвідношення

 [g_i, g_j] = i f^{ijk}g_k ,

де повторення індексу k означає підсумовування, а  f^{ijk} - повністю антисиметричний за трьома індексами і має значення:

f^{123} = 1 \ , \quad f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2} \ , \quad f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ .

Будь-який елемент групи SU(3) може бути записаним у формі:

 x = e^{i\sum_k \theta_k g_k} ,

де  \theta_k - дійсні числа. Саме ця властивість означає, що матриці  \lambda_i , а з ними і  g_i є генераторами групи.

Джерела[ред.ред. код]

  • Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979