Матриці Гелл-Манна

Матриці Гелл-Манна — одне з представлень інфінітоземальних генераторів спеціальної унітарної групи SU(3). Вони використовуються в квантовій хромодинаміці і є узагальненням матриць Паулі.

Всього існує 8 лінійно незалежних матриць 3x3 із одиничним визначником. Їх можна вибрати в наступному вигляді

$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

Це ермітові матриці. Слід усіх матриць $\lambda_i$ дорівнює нулю.

$\text{Sp}\; \lambda_j = 0$.

Крім того

$\text{Sp}\; \lambda_i \lambda_j = 3 \delta_{ij}$,

де $\delta_ij$ - символ Кронекера.

Матриці $g_i$ визначаються як

$g_i = \frac{1}{2}\lambda_i$.

Комутатори цих матриць задовольняють співвідношення

$[g_i, g_j] = i f^{ijk}g_k$,

де повторення індексу k означає підсумовування, а $f^{ijk}$ - повністю антисиметричний за трьома індексами і має значення:

$f^{123} = 1 \ , \quad f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2} \ , \quad f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ .$

Будь-який елемент групи SU(3) може бути записаним у формі:

$x = e^{i\sum_k \theta_k g_k}$,

де $\theta_k$ - дійсні числа. Саме ця властивість означає, що матриці $\lambda_i$, а з ними і $g_i$ є генераторами групи.

Джерела

• Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979