Матриці Дірака

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матриці Дірака - матриці 4-го рангу, які використовуються у рівнянні Дірака.

Визначення[ред.ред. код]

Матриці Дірака визначаються так

 \hat{\beta} = \left( \begin{matrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{matrix}\right) = 
\left( \begin{matrix} 
I & 0\\
0 & - I
\end{matrix} \right),
 \hat{\alpha}_x = \left( \begin{matrix}
0&0&0&1\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
1&0&0&0
\end{matrix}\right) = 
\left( \begin{matrix} 
0 & \hat{\sigma_x} \\
\hat{\sigma}_x & 0
\end{matrix} \right),
 \hat{\alpha}_y = \left( \begin{matrix}
0&0&0&-i\\
0&0&i&0\\
0&-i&0&0\\
i&0&0&0
\end{matrix}\right) = 
\left( \begin{matrix} 
0 & \hat{\sigma}_y \\
\hat{\sigma}_y & 0
\end{matrix} \right),
 \hat{\alpha}_z = \left( \begin{matrix}
0&0&1&0\\
0&0&0&-1\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0
\end{matrix}\right) = 
\left( \begin{matrix} 
0 & \hat{\sigma_z} \\
\hat{\sigma}_z & 0
\end{matrix} \right),

де I - одинична матриця,  \hat{\sigma}_i - матриці Паулі.

Гамма-матриці[ред.ред. код]

Окрім цих матриць, використовуються також гамма-матриці. Існує деяка розбіжність щодо позначень. В «нерелятивістських» позначеннях вони мають вигляд

 \gamma_\mu = -i\beta \alpha_\mu \, для  \mu = 1, 2,3

та  \gamma_4 = \beta .

В релятивістських позначеннях використовується індекс 0 замість індекса 4. Тоді контраваріантна форма матриць Дірака

 \gamma^0 = 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
\gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

В таких позначеннях матриці складають 4-вектор. Коваріантну форму можна знайти опусканням індекса, використовуючи метричний тензор простору Мінковського.

П'ята матриця Дірака вводиться як

 \gamma^5 := i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Навіть коли індекс 4 не використовується, ця матриця має номер 5.

Джерела[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.