Матриці Дірака

Матриці Дірака - матриці 4-го рангу, які використовуються у рівнянні Дірака.

Визначення

Матриці Дірака визначаються так

$\hat{\beta} = \left( \begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} I & 0\\ 0 & - I \end{matrix} \right)$,

$\hat{\alpha}_x = \left( \begin{matrix} 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 0 & \hat{\sigma_x} \\ \hat{\sigma}_x & 0 \end{matrix} \right)$,

$\hat{\alpha}_y = \left( \begin{matrix} 0&0&0&-i\\ 0&0&i&0\\ 0&-i&0&0\\ i&0&0&0 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 0 & \hat{\sigma}_y \\ \hat{\sigma}_y & 0 \end{matrix} \right)$,

$\hat{\alpha}_z = \left( \begin{matrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 0 & \hat{\sigma_z} \\ \hat{\sigma}_z & 0 \end{matrix} \right)$,

де I - одинична матриця, $\hat{\sigma}_i$ - матриці Паулі.

Гамма-матриці

Окрім цих матриць, використовуються також гамма-матриці. Існує деяка розбіжність щодо позначень. В «нерелятивістських» позначеннях вони мають вигляд

$\gamma_\mu = -i\beta \alpha_\mu \,$ для $\mu = 1, 2,3$

та $\gamma_4 = \beta$.

В релятивістських позначеннях використовується індекс 0 замість індекса 4. Тоді контраваріантна форма матриць Дірака

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

В таких позначеннях матриці складають 4-вектор. Коваріантну форму можна знайти опусканням індекса, використовуючи метричний тензор простору Мінковського.

П'ята матриця Дірака вводиться як

$\gamma^5 := i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Навіть коли індекс 4 не використовується, ця матриця має номер 5.

Джерела

• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.