Матрична тотожність Вудбурі

Матрична тотожнісь Вудбурі

$(A+UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1}+VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1},$

де матриці A розміру n×n, U розміру n×k, C розміру k×k і V розміру k×n.

Використовується для обернення блочної матриці.

Доведення через систему матричних рівнянь

Розв'язуючи систему матричних рівнянь

$\begin{bmatrix} A & U \\ V & -C^{-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I \\ 0 \end{bmatrix}$

Отримаємо систему з двох рівнянь $AX + UY = I$ та $VX - C^{-1}Y = 0$, вилучимо Y з першого рівняння: $(A + UCV)X = I$.

Перетворимо перше рівняння так $X = A^{-1}(I-UY)$, і підставим його в друге рівняння $VA^{-1}(I-UY) = C^{-1}Y$.

Отримаємо $VA^{-1} = (C^{-1}+VA^{-1}U)Y$, чи $(C^{-1}+ VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} = Y$.

Підставимо Y в $AX + UY = I$, і отримаємо $AX + U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} = I$. Отримаємо

$(A+UCV)^{-1} = X = A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.$

Доведення через LDU розклад матриці

В матриці

$\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix}$

для обнулення елемента під A (дано що A невироджена) домножимо зліва на ліву трикутну матрицю,

а для обнулення елемента над C домножимо справа на праву трикутну матрицю.

Отримаємо LDU розклад блочної матриці

$\begin{bmatrix} I & 0 \\ -VA^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & -A^{-1}U \\ 0 & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C-VA^{-1}U \end{bmatrix}$

Проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

$\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix}^{-1}$	$= \begin{bmatrix} I & A^{-1}U \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C-VA^{-1}U \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} I & 0 \\ VA^{-1} & I \end{bmatrix}^{-1}$
	$= \begin{bmatrix} I & -A^{-1}U \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & (C-VA^{-1}U)^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ -VA^{-1} & I \end{bmatrix}$
	$= \begin{bmatrix} A^{-1}+A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} & -A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1} \\ -(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} & (C-VA^{-1}U)^{-1} \end{bmatrix} \qquad\mathrm{(1)}$

---

Також можна записати UDL розклад блочної матриці (дано що C невироджена)

$\begin{bmatrix} I & -UC^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ -C^{-1}V & I\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A-UC^{-1}V & 0 \\ 0 & C \end{bmatrix}$

Знову проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

$\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix}^{-1}$	$= \begin{bmatrix} I & 0 \\ C^{-1}V & I\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A-UC^{-1}V & 0 \\ 0 & C \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} I & UC^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1}$
	$= \begin{bmatrix} I & 0 \\ -C^{-1}V & I\end{bmatrix} \begin{bmatrix} (A-UC^{-1}V)^{-1} & 0 \\ 0 & C^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & -UC^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}$
	$= \begin{bmatrix} (A-UC^{-1}V)^{-1} & -(A-UC^{-1}V)^{-1}UC^{-1} \\ -C^{-1}V(A-UC^{-1}V)^{-1} & C^{-1}V(A-UC^{-1}V)^{-1}UC^{-1}+C^{-1} \end{bmatrix} \qquad\mathrm{(2)}$

---

Порівняємо елементи (1,1) матриць (1) та (2) і отримаємо тотожність Вудбурі:

$\ ( A-UC^{-1}V ) ^{-1} = A^{-1}+A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}.$

Часткові випадки

Якщо n = k та U = V = I_n, тоді

$\left(\mathbf{A}+\mathbf{C}\right)^{-1} = \mathbf{A}^{-1} - \mathbf{A}^{-1}\mathbf{C}\left(\mathbf{C}+\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{C}\right)^{-1}\mathbf{CA}^{-1}.$

Якщо k = 1 та C = I_k, тоді U буде вектором-стовпцем u, та V буде вектором-рядком v^T. Тоді

$\left(\mathbf{A}+\mathbf{uv}^\mathrm{T}\right)^{-1} = \mathbf{A}^{-1}- \frac{\mathbf{A}^{-1}\mathbf{uv}^\mathrm{T}\mathbf{A}^{-1}}{1+\mathbf{v}^\mathrm{T}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}}$ — має назву формули Шермана — Морісона.

Якщо A = I_n та C = I_k, тоді

$\left(\mathbf{I}_n + \mathbf{UV}\right)^{-1} = \mathbf{I}_n - \mathbf{U}\left(\mathbf{I}_n + \mathbf{VU}\right)^{-1}\mathbf{V},$

зокрема, справедливо

$\left(\mathbf{I}+\mathbf{uv}^\mathrm{T}\right)^{-1} = \mathbf{I} - \frac{\mathbf{uv}^\mathrm{T}}{1+\mathbf{v}^\mathrm{T}\mathbf{u}}.$