Матроїд

Матроїд - класифікація підмножин деякої множини, що представляє собою узагальнення ідеї незалежності елементів, аналогічно незалежності елементів лінійного простору, на довільну множину.

Аксіоматичне визначення

Матроїд - пара $(X, I)$, де $X$ - скінченна множина, звана носієм матроїда, а $I$ - деяка множина підмножин $X$, звана сімейством незалежних множин, тобто $I \subset$ $2 ^ X$. При цьому повинні виконуватися наступні умови:

1. $\varnothing \in I$
2. Якщо $A \in I$ та $B \subset A$, то $B \in I$
3. Якщо $A, B \in I$ і потужність A більша потужності B, то існує $x \in A \setminus B$ такий, що $B \cup \{x\} \in I$

Базами матроїда називаються максимальні по включенню незалежні множини. Підмножини $X$, які не належать $I$, називаються залежними множинами. Мінімальні по включенню залежні множини називаються циклами матроїда, це поняття використовується в альтернативному визначенні матроїда.

Визначення у термінах циклів

Матроїд - пара $(X, C)$, де $X$ - носій матроїда, а $C$ - сімейство непустих підмножин $X$, зване множиною Циклів матроїда, для яких виконуються наступні умови:

1. Жоден цикл не є підмножиною іншого.
2. Якщо $x \in C_1 \cap C_2$, то $C_1 \cup C_2 \setminus \{x\}$ містить цикл.

Визначення у термінах правильного замикання

Нехай $(P, \le)$ - частково впорядкована множина. $H: P \to P$ - замикання в $(P, \le)$, якщо

1. Для будь-якого x з P: $H (x) \ge x$
2. Для будь-яких x,y з P: $x \le y \Rightarrow H(x) \le H (y)$
3. Для будь-якого x з P: $H\left(H\left(x\right)\right) = H(x)$

Розглянемо $(P, \le) = (2^S, \le)$ випадок, коли частково впорядкована множина - булева алгебра. Нехай $A \to H (A)$ - замикання$A \subset S$.

1. Замикання правильне (аксіома правильного замикання), якщо $(p \not \in A, p \in H(A \cup \left\{ q \right\}) ) \Rightarrow q \in H(A \cup \left\{ p \right\})$
2. Для будь-якого $A \subset S$ існує таке $B \subset A$, що
   1. $| B | <+ \infty$
   2. $H \left (B \right) = H \left (A \right)$

Пара $(S, A \to H (A))$, де $A \to H (A)$ - правильне замикання на $(2^S, \le)$, називається матроїдом.

Приклади

1. Універсальний матроїд U_nk. Множина X має потужність n, незалежними множинами є підмножини потужністю не більше k. Бази - підмножини потужністю k.
2. Матроїд циклів графа. Множина X - множина ребер графа, незалежні множини - ациклічні підмножини цих ребер, цикли - прості цикли графа. Базами є кістякові дерева графа. Матроїд називається 'графічним', якщо він є матроїдом циклів деякого графа.
3. Матроїд підмножин множини ребер графа, таких що видалення підмножини залишає граф зв'язаним.
4. Матроїд коциклів графа. Множина X - множина ребер, коцикли - мінімальні множини, видалення яких призводить до втрати зв'язності графа. Матроїд називається 'кографічним', якщо він є матроїдом коциклів деякого графа.
5. Матричний матроїд. Сімейство всіх лінійно незалежних підмножин будь-якої скінченної множини векторів довільного непорожнього векторного простору є матроїдом.

Визначимо множину E, як таку, що складається з {1, 2, 3, .., n} - номерів стовпців деякої матриці, а множину I, як таку, яка складається з підмножин E, таких що вектори, які визначаються ними, є лінійно незалежними над полем дійсних чисел R. Виникає питання - якими властивостями володіє побудована множина I?

1. Множина I - непорожня. Навіть якщо вихідна множина E була б порожньою - E = ∅, то I буде складатися з одного елемента - множини, що містить порожню множину I = ∅.
2. Будь-яка підмножина будь-якого елемента множини I також буде елементом цієї множини. Ця властивість зрозуміла - якщо деякий набір векторів лінійно незалежний над полем, то лінійно незалежним буде також будь-який його піднабір.
3. Якщо A, B ∈ I, причому | A | = | B | + 1, тоді існує елемент x ∈ A - B, такий що B ∪ {x} ∈ I.

Доведемо, що в розглянутому прикладі множина лінійно незалежних стовпців дійсно є матроїдом. Для цього достатньо довести третю властивість з визначення матроїда. Проведемо доведення методом від протилежного.

Доведення. Нехай A, B ∈ I і | A | = | B | + 1. Нехай W буде простором векторів, які охоплюють A ∪ B. Зрозуміло, що його розмірність буде не меншою | A |. Припустимо, що B ∪ {x} буде лінійно залежною для всіх x ∈ A - B (тобто третя властивість не буде виконуватися). Тоді B утворює базис в просторі W. З цього випливає, що | A | ≤ dim W ≤ | B |. Але, так як за умовою A і B складаються з лінійно незалежних векторів і | A |> | B |, одержуємо суперечність. Така множина векторів буде матроїдом.

Додаткові поняття

• Двоїстим до даного матроїду називається матроїд, носій якого збігається з носієм даного матроїда, а бази - з доповненням баз даного матроїда до носія. Тобто X^* = X, а безліч баз двоїстого матроїда - це множина таких B^*, що B^* = X\B, де B - база даного матроїда.
• Циклом в матроїді називається така множина A ⊂ X, що A ∉ I, і для будь-якого B ⊂ A, якщо B ≠ A, то B ∈ I
• Рангом матроїда називається потужність його баз. Ранг тривіального матроїда дорівнює нулю.

Матроїд Фано

Матроїд Фано

Матроїди з невеликим числом елементів часто зображують у вигляді діаграм. Точки - це елементи основної множини, а криві «протягнуті» через кожен трьохелементний ланцюг (3-element circuit). Діаграма показує 3-ранговий матроїд, званий матроїдом Фано, приклад якого з'явився в 1935 в статті Уїтні (Whitney).

Назва виникла з того факту, що матроїд Фано являє собою проективну площину другого порядку, відому як площина Фано, чиє координатне поле - це двохелементне поле. Це означає, що матроїд Фано - це векторний матроїд, пов'язаний з сімома ненульовими векторами в тривимірному векторному просторі над полем двох елементів.

З проективної геометрії відомо, що матроїд Фано не може бути представлений довільною множиною векторів в дійсному або комплексному векторному просторі (або в будь-якому векторному просторі над полем, характеристики якого відрізняються від 2).

Теореми

• Всі бази матроїда мають однакову потужність.
• Матроїд однозначно задається носієм і базами.
• Цикл не може бути підмножиною іншого циклу
• Якщо $C_1$ і $C_2$ - цикли, то для будь-якого $x \in C_1\cap C_2: C_1 \cup C_2 \setminus \{x\}$ містить цикл
• Якщо $B$ - база і $x \notin B$, то $B \cup \{x\}$ містить рівно один цикл.

Застосування

• Матроїди добре описують клас задач, які допускають «жадібне» рішення. Див. жадібний алгоритм Радо-Едмондса.
• Матроїди в комбінаторній оптимізації.