Медіана трикутника

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Запит «Медіана» перенаправляє сюди; див. також інші значення.
Медіани трикутника виділені червоним кольором.

Медіа́на — в геометрії, відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Властивості[ред.ред. код]

  • Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами, а три проведені медіани — на шість рівновеликих.
  • Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.
  • Медіана прямокутного трикутника, проведеного до гіпотенузи, ділить трикутник на два рівнобедрені трикутники, та дорівнює половині гіпотенузи.
  • В точці перетину медіани трикутника діляться в відношенні 2:1.
  • При перетворенні медіана переходить в медіану.
  • Якщо дві медіани трикутника перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, у п'ять разів більша за квадрат третьої сторони.

Математичні залежності[ред.ред. код]

Довжина медіани m визначається з рівняння:

m_a = \sqrt{\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4}},

де a — сторона трикутника, на середину якої опущена медіана; b, c — інші сторони трикутника.

Сума квадратів медіан довільного трикутника становить 3/4 від суми квадратів його сторін:

m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac34 (a^2 + b^2 + c^2).

Довжина сторони трикутника через медіани визначається наступним чином:

a=\frac{2}{3}\sqrt {2 (m_b^2 + m_c^2) - m_a^2},

де m_a, m_b, m_c медіани до відповідних сторін трикутника, a, b, c — сторони трикутника.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
  • Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
  • Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
  • Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5