Метод Бокса — Вілсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод Бокса-Вілсона (рос. метод Бокса-Уилсона; англ. Box-Wilson method; нім. Box-Wilson-Methode f) — метод оптимізації активного експерименту шляхом крутого сходження поверхнею відгуку (параметрів оптимізації) до оптимуму, суть якого полягає в наступному: рух у напрямі градієнта за наявності лінійного рівняння моделі здійснюється із центра експерименту послідовними кроками, які пропорційні добутку коефіцієнта регресії кожного фактора на значення його інтервалу зміни.

Застосовується, зокрема, для одержання моделей процесів збагачення корисних копалин та інших технологічних процесів, при гідродинамічних дослідженнях газліфтних нафтових свердловин.

Алгоритм[ред.ред. код]

Метод крутого сходження, або метод Бокса — Вілсона, поєднує істотні елементи методу Гаусса — Зейделя і градієнтного методу з методами ПФЕ або ДФЕ. Так, при використанні алгоритму крутого сходження кроковий рух з точки x_k здійснюється в напрямі найшвидшого зростання рівня виходу, тобто по grad y(\vec x_k), проте, на відміну від градієнтного методу, коректування напряму здійснюється не після кожного наступного кроку, а після досягнення в деякій точці \vec x_m на даному напрямі часткового екстремуму цільової функції (рис. 1), аналогічно методу Гаусса — Зейделя. Важливою особливістю методу Бокса — Вілсона є також регулярне проведення статистичного аналізу проміжних результатів на шляху до оптимуму. Порядок виконання операцій при пошуку екстремуму за методом крутого сходження такий:

1) провадиться повний або дробовий факторний експеримент з центром у вихідній точці \vec x_0для визначення grad y(\vec x_0). Результати експерименту піддаються статистичному аналізу, який включає:

а) перевірку відтворюваності експерименту;

б) перевірку значущості оцінок коефіцієнтів b_i лінійної моделі об'єкта;

в) перевірку адекватності утвореної лінійної моделі

y=b_0+b_1 x_1+...+b_n x_n

досліджуваному об'єктові.

2) обчислюються добутки b_i \triangle x_i, де \triangle x_i — крок варіювання параметра x_i при проведенні ПФЕ, і фактор, для якого цей добуток максимальний, береться як базовий

max (b_i \triangle x_i)= b_{\sigma} \triangle x_{\sigma};

3) для базового фактора вибирають крок варіювання при крутому сходженні \rho, залишаючи старий крок або впроваджуючи дрібніший;

4) визначаються розміри \rho_i за рештою змінних процесу x_j(j \ne i). Оскільки під час руху градієнтом варійовані параметри повинні змінюватися пропорційно коефіцієнтам b_j={ \triangle y \over \triangle {x_j}}, які є компонентами вектора grad у(х), то відповідні \rho_i знаходяться за формулою

\rho_i={{b_j \triangle x_j} \over {\left | b_{\sigma} \triangle x_{\sigma} \right |}},

де \rho і \triangle x_i завжди додатні, а коефіцієнт b_i береться зі своїм знаком;

5) проводяться уявні досліди, які полягають у завбаченні значень виходу y_{zav,k}(\vec x_k)у певних точках \vec x_k факторного простору (див. рис. 1). Для цього незалежні змінні лінійної моделі об'єкта змінюються з урахуванням b_i={{\triangle y} \over {\triangle x_i}} таким чином, щоб зображуюча точка \vec x виконувала кроковий рух у напрямі вектора grad (\vec x_1), утвореного в п. 1, займаючи послідовно положення

\vec x_1, \vec x_2, ... , \vec x_k, ... , \vec x_m.

Очевидно, що j-та координата k-ї точки визначається так:

x_{k,j}=x_{1,j}+k_{\rho,j},  j=1,2,...,n.

Тоді

y_{zav,k}=b_0+k \sum_{j=1}^n b_j \rho_j,  k=1,2,...,m.

Зробимо підстановку

y_{zav,k}=ky_{zav,1}-(k-1)b_0,  k=1,2,...,m.

або ще зручніше

y_{zav,k}=y_{zav,k-1}+(y_{zav,1}-b_0),  k=1,2,...,m.

6) уявні досліди продовжуються до тих пір, поки виконується нерівність

y_{zav,k} \le (1..2)y_{max},

де y_{max} — максимально можливий вихід, який визначається з фізичних міркувань;

7) деякі з уявних дослідів (звичайно через кожні 2-3 уявних кроки) реалізуються на об'єкті для перевірки відповідності апроксимації об'єкта утвореним рівнянням (гіперплощиною). Спостережені значення y_{exp} порівнюються із завбаченими y_{zav} (див. рис. 1);

8) точка \vec x_m, де в реальному досліді утворено максимальне значення виходу, береться за нову початкову точку, і етап крутого сходження, описаний вище, повторюється;

9) оскільки кожен етап крутого сходження наближає зображуючу точку до області екстремуму y(\vec x), де крутість поверхні відклику менша, то для кожного наступного етапу \rho береться рівним або меншим попереднього;

10) пошук припиняється, коли всі коефіцієнти b_i(i=1,2,...,n) лінійної моделі об'єкта виходять незначущими. Це свідчить про вихід в область екстремуму цільової функції.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]