Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Метод Гальоркіна — чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь з граничними умовами. Диференціальні рівняння з граничними умовами у математичній фізиці називаються задачею математичної фізики .
Загальне формулювання [ ред. | ред. код ] Нехай є диференціальне рівняння з деякими
крайовими умовами (першого роду)
A
^
[
u
(
x
)
]
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]=f(x)}
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle a\leq x\leq b}
u
(
a
)
=
α
{\displaystyle u(a)=\alpha }
u
(
b
)
=
β
{\displaystyle u(b)=\beta }
Наближений розв'язок шукаємо у вигляді наступної суми
u
(
x
)
≈
y
n
(
x
)
=
ϕ
0
(
x
)
+
∑
k
=
1
n
ϕ
k
(
x
)
∗
α
k
{\displaystyle u(x)\approx y_{n}(x)=\phi _{0}(x)+\sum _{k=1}^{n}\phi _{k}(x)*\alpha _{k}}
де
ϕ
0
(
x
)
{\displaystyle \phi _{0}(x)}
неперервна функція , що задовільняє крайові умови (1),
ϕ
k
(
x
)
{\displaystyle \phi _{k}(x)}
1
≤
k
<
∞
{\displaystyle 1\leq k<\infty }
Якщо для функції
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
A
^
[
u
(
x
)
]
−
f
(
x
)
{\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]-f(x)}
ϕ
k
(
x
)
{\displaystyle \phi _{k}(x)}
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
Якщо ортогональність є тільки при
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq k\leq n}
A
^
[
u
(
x
)
]
≈
f
(
x
)
{\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]\approx f(x)}
Замість
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
∫
a
b
[
A
^
[
y
n
(
x
)
]
−
f
(
x
)
]
ϕ
k
(
x
)
d
x
=
0
,
1
≤
k
≤
n
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}[{\hat {A}}[y_{n}(x)]-f(x)]\phi _{k}(x)\,dx=0,1\leq k\leq n.}
Застосування до квантової механіки [ ред. | ред. код ] Нехай є диференціальне рівняння на функцію u(x)-
H
^
[
u
(
x
)
]
=
E
u
(
x
)
{\displaystyle {\hat {H}}[u(x)]=Eu(x)}
де H - оператор.
Саму функцію
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
u
(
x
)
=
ϕ
0
(
x
)
+
∑
i
=
1
N
ϕ
i
(
x
)
α
i
{\displaystyle u(x)=\phi _{0}(x)+\sum _{i=1}^{N}\phi _{i}(x)\alpha _{i}}
Метод дає нам саме коефіцієнти
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
Розглянемо функції
ϕ
i
(
x
)
{\displaystyle \phi _{i}(x)}
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
ϕ
i
(
x
)
d
x
=
b
j
,
i
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*\phi _{i}(x)\,dx=b_{j,i}}
Домножимо рівняння
H
[
u
(
x
)
]
=
E
u
(
x
)
{\displaystyle H[u(x)]=Eu(x)}
ϕ
j
(
x
)
{\displaystyle \phi _{j}(x)}
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
H
^
[
u
(
x
)
]
d
x
=
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
E
∗
u
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[u(x)]\,dx=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*E*u(x)\,dx}
∑
i
=
1
N
α
i
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
H
^
[
ϕ
i
(
x
)
]
d
x
=
∑
i
=
1
N
b
j
,
i
∗
E
α
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx=\sum _{i=1}^{N}b_{j,i}*E\alpha _{i}}
Введемо наступне позначення -
ϕ
j
,
i
=
∫
0
∞
ϕ
j
(
x
)
∗
H
^
[
ϕ
i
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \phi _{j,i}=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx}
Маємо систему лінійних рівнянь -
∑
i
=
1
N
α
i
[
ϕ
j
,
i
−
E
∗
b
j
,
i
]
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0}
Яка розв'язується за умови -
det
[
ϕ
j
,
i
−
E
∗
b
j
,
i
]
=
0
,
j
=
1
,
N
{\displaystyle \det[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0,j=1,N}
![{\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9e962af5ee931e377fa839fd9cf22cd20ea24a)
![{\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d851ba1b45334468d1d27b09c9fd2deb33daaa)
![{\displaystyle {\hat {A}}[u(x)]\approx f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4eea17a443f72bbd3e41f8649f39a63b15d6ca)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}[{\hat {A}}[y_{n}(x)]-f(x)]\phi _{k}(x)\,dx=0,1\leq k\leq n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d9ed74e922a1b359c8b33dff9d7f0de3c7f275)
![{\displaystyle {\hat {H}}[u(x)]=Eu(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3b13357c3679d9e0a3f7ad492312405b1d77d3)
![{\displaystyle H[u(x)]=Eu(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddadf49360b1a10921f2de2f7f3a723484166cc)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[u(x)]\,dx=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*E*u(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344a1e7d30f103412f929574ab26f7d70e1533e6)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx=\sum _{i=1}^{N}b_{j,i}*E\alpha _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35888cd5a16094b7bc8b56d397e81560caaebe5b)
![{\displaystyle \phi _{j,i}=\int _{0}^{\infty }\phi _{j}(x)*{\hat {H}}[\phi _{i}(x)]\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079971fdc8b30045c008fd7aa42a6ae7e789f74c)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d656754ef52640b928aff589bc41775b612d4f1)
![{\displaystyle \det[\phi _{j,i}-E*b_{j,i}]=0,j=1,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8fc5b2ed516c4a33bd4d4df847dc368c451945)
