Метод Рунге — Кутти

Методи Рунге — Кутти — важлива група чисельних методів розв’язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти, які відкрили ці методи.

Класичний метод Рунге — Кутти 4-го порядку

Метод Рунге — Кутти 4-го порядку настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге — Кутти.

Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь довільного порядку, що записується у векторній формі як

$\textbf{y}'=\textbf{f}(x,\textbf{y}),~~~~~ \textbf{y}(x_0)=\textbf{y}_0$.

Тоді значення невідомої функції в точці $\ x_{n+1}$ обчислюється відносно значення в попередній точці $\ x_n$ за формулою:

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + {h \over 6} (\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2 + 2\textbf{k}_3 + \textbf{k}_4)$,

$\ x_{n+1}=x_n+h$

де $\ h$ — крок інтегрування, а коефіцієнти $\textbf{k}_n$ розраховуються таким чином:

$\textbf{k}_1 = \textbf{f} \left( x_n, \textbf{y}_n \right),$

$\textbf{k}_2 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_1 \right),$

$\textbf{k}_3 = \textbf{f} \left( x_n + {h \over 2}, \textbf{y}_n + {h \over 2} \textbf{k}_2 \right),$

$\textbf{k}_4 = \textbf{f} \left( x_n + h, \textbf{y}_n + h\textbf{k}_3 \right).$

Це метод 4-го порядку, тобто похибка на кожному кроці становить $\ O(h^5)$, а сумарна похибка на кінцевому інтервалі інтегрування є величиною $\ O(h^4)$.

Прямі методи Рунге — Кутти

Група прямих методів Рунге — Кутти є узагальненням методу Рунге — Кутти 4-го порядку. Воно задається формулами

$\textbf{y}_{n+1} = \textbf{y}_n + h\sum_{i=1}^s b_i \textbf{k}_i,$

де

$\textbf{k}_1 = \textbf{f}(x_n, \textbf{y}_n), \,$

$\textbf{k}_2 = \textbf{f}(x_n+c_2h, \textbf{y}_n+a_{21}h\textbf{k}_1), \,$

$\textbf{k}_3 = \textbf{f}(x_n+c_3h, \textbf{y}_n+a_{31}h\textbf{k}_1+a_{32}h\textbf{k}_2), \,$

$\vdots$

$\textbf{k}_s = \textbf{f}(x_n+c_sh, \textbf{y}_n+a_{s1}h\textbf{k}_1+a_{s2}h\textbf{k}_2+\cdots+a_{s,s-1}h\textbf{k}_{s-1}).$

Конкретний метод визначається числом $\ s$ і коефіцієнтами $\ b_i, a_{ij}$ і $\ c_i$. Ці коефіцієнти часто впорядковують в таблицю

	0
	$c_2$	$a_{21}$
	$c_3$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
	$c_s$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_1$	$b_2$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_s$

Для коефіцієнтів методу Рунге — Кутти мають справджуватись умови $\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i$ для $i=\overline{2,s}$.

Якщо ми хочемо, щоб метод мав порядок $\ p$, то варто так само забезпечити умову $\bar\textbf{y}(h+x_0)-\textbf{y}(h+x_0)=O(h^{p+1}),$ де $\bar\textbf{y}(h+x_0)$ — наближення, отримане за методом Рунге — Кутти. Після багаторазового диференціювання ця умова перетвориться в систему поліноміальних рівнянь, розв'язки якої є коефіцієнтами методу.

Приклад розв'язання в середовищі MATLAB

Розв'язання систем диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутти є одним з найбільш поширених числових методів розв'язання в техніці. В середовищі MATLAB (досить поширена і зручна мова програмування для технічних обчислень) реалізований один з його різновидів — метод Дорманда-Принса.

Див. також

• Метод Ейлера

Література

• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (Розділи 16.1 і 16.2.).