Метод Сімпсона

Метод Сімпсона одержується за допомогою інтерполяції функції f(x) (голубий колір) квадратичним многочленом P(x) (червоний колір).

Метод Сімпсона є одним із методів чисельного інтегрування. Названий на честь британського математика Томаса Сімпсона (1710—1761).

Формула

Формулою Сімпсона називається інтеграл від інтерполяційного многочлена другого степеня на відрізку $[a,b]$:

${\int\limits_a^b f(x) dx} \approx {\int\limits_{a}^{b} {p_2(x)} dx} = \frac{b-a}{6}{ \left( f(a) + 4 f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right)},$

де $f(a)$, $f((a+b)/2)$ і $f(b)$ — значення функції у відповідних точках .

Похибка

При умові, що функція $f(x)$ на відрізку $[a,b]$ має похідну четвертого порядку, похибка $E(f)$, дорівнює:

$E(f) = - \frac{(b-a)^5}{2880}{{f^{(4)}(\zeta)}}, \ \ \ \zeta \in [a,b].$

Зважаючи, що значення $\zeta$ переважно не є відомим, для оцінки похибки використовується нерівність:

$\left| E(f) \right| \le \frac{(b-a)^5}{2880} \max\limits_{x\in[a,b]} {\left| f^{(4)}(x) \right|}.$

Виведення формули

Формула Сімпсона може бути виведена за допомогою багатьох різних способів.

Квадратична інтерполяція

Якщо замінити функцію $f(x)$ квадратичним поліномом $P(x)$ що приймає ті ж значення що й $f(x)$ у точках a,b і m = (a+b) / 2. використавши інтерполяційну формулу Лагранжа, то одержимо формулу:

$P(x) = f(a) \frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)} + f(m) \frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)} + f(b) \frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}.$

Після необхідних обчислень одержуємо:

$\int_{a}^{b} P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].$

Використання методів прямокутників і трапецій

У цьому способі виведення використовуються метод прямокутників:

$M = (b-a) f \left( \frac{a+b}{2} \right)$

і метод трапецій:

$T = \tfrac12 (b-a) (f(a)+f(b)).$

Похибки цих наближень дорівнюють

$-\tfrac1{24} (b-a)^3 f''(a) + O((b-a)^4) \quad$і$\quad \tfrac1{12} (b-a)^3 f''(a) + O((b-a)^4),$

відповідно. Звідси випливає, що аби позбутися третього степеня слід взяти для наближення величину

$\frac{2M+T}{3}.$

Однак таким чином одержується формула Сімпсона.

Метод невизначених коефіцієнтів

Запишемо в загальному виді:

$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \alpha f(a) + \beta f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \gamma f(b).$

Коефіцієнти α, β і γ можуть бути знайдені з вимоги, що дане наближення є точним для всіх многочленів другого степеня. Таким чином знову ж одержується метод Сімпсона.

Ітераційна формула

Для точнішого обчислення інтеграла проміжок $[a,b]$ розбивають на $N$ відрізків однакової довжини і застосовують формулу Сімпсона на кожному з них. Значення інтеграла є сумою для всіх відрізків.

${\int\limits_a^b f(x) dx} \approx \frac h3 \cdot \left( \frac 12 f(x_0)+\sum_{k=1}^{N-1}f(x_k)+2\sum_{k=1}^{N}f \left( \frac{x_{k-1}+x_k}2 \right)+\frac 12 f(x_N) \right)$

де $h = \frac{b-a}{N}$ величина кроку, а $x_k=a+k\cdot h$ межі відрізків.

Загальну похибку $E(f)$ при інтегруванні на відрізку $[a,b]$ з кроком $x_i - x_{i-1} = h$ визначають за формулою:

$\left| E(f) \right| \le \frac{(b-a)}{2880}h^4 \max\limits_{x\in[a,b]} |f^{(4)} (x)|$.

При неможливості оцінити похибку за допомогою четвертої похідної можна використати слабшу оцінку:

$\left| E(f) \right| \le \frac{(b-a)}{288}h^3 \max\limits_{x\in[a,b]} |f^{(3)} (x)|$.

Приклади реалізації

Реалізація на C#:

using System;
 
namespace NumericIntgeration
{
    internal class Program
    {
        private delegate double Func(double x);
 
        private static void Main()
        {
            const int n = 10000;
            double result = SimpsonMethod(0.0, 2.0, n, x => x * Math.Exp(Math.Sqrt(x)));
            Console.WriteLine("x = {0}", result);
 
            Console.ReadKey();
        }
        private static double SimpsonMethod(double a, double b, int n, Func func)
        {
            double h = (b - a) / n;
            double s = (func(a) + func(b)) * 0.5;
            for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
            {
                double xk = a + h * i; //xk
                double xk1 = a + h * (i - 1); //Xk-1
                s += func(xk) + 2 * func((xk1 + xk) / 2);
            }
            var x = a + h * n; //xk
            var x1 = a + h * (n - 1); //Xk-1
            s += 2 * func((x1 + x) / 2);
 
            return s * h / 3.0;
        }
    }
}

Див. також

• Чисельне інтегрування
• Метод прямокутників
• Метод трапецій