Метод моментів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод моментів знаходження оцінок в математичній статистиці — це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і вибіркових моментів.

Опис[ред.ред. код]

Коротко, метод моментів описується так: "Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки моментів цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат."

Формально: нехай X_1,\ldots,X_nвибірка з розподілу \mathbb{P}_{\theta}, що залежить від параметра \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}. Нехай маємо функцію g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, таку що g(X_1) інтегрована відносно міри \mathbb{P}_{\theta}, і

\mathbb{E}_{\theta}\left[g(X_1)\right] = f(\theta),

где f:\Theta \to \mathbb{R}бієкція. Тоді оцінка

\hat{\theta}_{\mathrm{MM}} = f^{-1}\left(\overline{g(X)}\right) \equiv f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n g(X_i)\right)

називається оцінкою параметра \theta \in \Theta методом моментів.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Оцінки знайдені методом моментів, як правило спроможні, але часто неефективні. Тому їх можна використовувати лише як перше наближення, базуючись на яких можна знаходити наступні наближення з меншою дисперсією.
  • За побудовою, \overline{g(X)} = f\left(\hat{\theta}_{\mathrm{MM}}\right), тобто оцінка методом моментів отримується шляхом прирівнювання теоретичного середнього g(X) з вибірковим середнім.
g(x) = x^k,\; k \in \mathbb{N}.
  • Оцінка \hat{\theta}_{\mathrm{MM}} суттєво залежить від використаної функції g(x). Якщо можливе використання кількох різних функцій g(x), отримані з їх допомогою оцінки можуть відрізнятися.

Конзистентність методу[ред.ред. код]

Якщо f \in C(\Theta), тобто функція f неперервна, то оцінка методу моментів конзистентна.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай X_1,\ldots,X_n \sim \Gamma(\alpha,\beta) — вибірка з гамма-розподілу з невідомими параметрами \alpha і \beta. Тоді

\mathbb{E}[X_i] = \alpha \beta,\; \mathbb{E}\left[X_i^2\right]=\alpha(\alpha+1)\beta^2,\quad i=1,\ldots,n.

Тоді оцінки методу моментів задовольняють систему рівнянь:


\left\{
\begin{matrix}
\bar{X} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} \hat{\beta}_{\mathrm{MM}}\\
\overline{X^2} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} ( \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} + 1 ) \left( \hat{\beta}_{\mathrm{MM}} \right)^2,
\end{matrix}
\right.

звідки

\hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} = \frac{\left(\bar{X}\right)^2}{\overline{X^2} - \left(\bar{X}\right)^2},

і

\hat{\beta}_{\mathrm{MM}} = \frac{\overline{X^2} - \left(\bar{X}\right)^2}{\bar{X}}.

Дивись також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Анісімов В.В.; Черняк О.І. (1995). Математична статистика (укр). Київ: МП "ЛЕСЯ". ISBN 5-7707-8786-4.