Метод моментів

Метод моментів знаходження оцінок в математичній статистиці — це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і вибіркових моментів.

Опис

Коротко, метод моментів описується так: "Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки моментів цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат."

Формально: нехай $X_1,\ldots,X_n$ — вибірка з розподілу $\mathbb{P}_{\theta}$, що залежить від параметра $\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}$. Нехай маємо функцію $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, таку що $g(X_1)$ інтегрована відносно міри $\mathbb{P}_{\theta}$, і

$\mathbb{E}_{\theta}\left[g(X_1)\right] = f(\theta)$,

где $f:\Theta \to \mathbb{R}$ — бієкція. Тоді оцінка

$\hat{\theta}_{\mathrm{MM}} = f^{-1}\left(\overline{g(X)}\right) \equiv f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n g(X_i)\right)$

називається оцінкою параметра $\theta \in \Theta$ методом моментів.

Зауваження

• Оцінки знайдені методом моментів, як правило спроможні, але часто неефективні. Тому їх можна використовувати лише як перше наближення, базуючись на яких можна знаходити наступні наближення з меншою дисперсією.

• За побудовою, $\overline{g(X)} = f\left(\hat{\theta}_{\mathrm{MM}}\right)$, тобто оцінка методом моментів отримується шляхом прирівнювання теоретичного середнього $g(X)$ з вибірковим середнім.

• В якості функції $g$ часто беруть степеневу функцію:

$g(x) = x^k,\; k \in \mathbb{N}$.

• Оцінка $\hat{\theta}_{\mathrm{MM}}$ суттєво залежить від використаної функції $g(x)$. Якщо можливе використання кількох різних функцій $g(x)$, отримані з їх допомогою оцінки можуть відрізнятися.

Конзистентність методу

Якщо $f \in C(\Theta)$, тобто функція $f$ неперервна, то оцінка методу моментів конзистентна.

Приклад

Нехай $X_1,\ldots,X_n \sim \Gamma(\alpha,\beta)$ — вибірка з гамма-розподілу з невідомими параметрами $\alpha$ і $\beta$. Тоді

$\mathbb{E}[X_i] = \alpha \beta,\; \mathbb{E}\left[X_i^2\right]=\alpha(\alpha+1)\beta^2,\quad i=1,\ldots,n$.

Тоді оцінки методу моментів задовольняють систему рівнянь:

$\left\{ \begin{matrix} \bar{X} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} \hat{\beta}_{\mathrm{MM}}\\ \overline{X^2} = & \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} ( \hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} + 1 ) \left( \hat{\beta}_{\mathrm{MM}} \right)^2, \end{matrix} \right.$

звідки

$\hat{\alpha}_{\mathrm{MM}} = \frac{\left(\bar{X}\right)^2}{\overline{X^2} - \left(\bar{X}\right)^2}$,

і

$\hat{\beta}_{\mathrm{MM}} = \frac{\overline{X^2} - \left(\bar{X}\right)^2}{\bar{X}}$.

Дивись також

• Метод максимальної вірогідності

Посилання

1. Анісімов В.В.; Черняк О.І. (1995). Математична статистика (укр). Київ: МП "ЛЕСЯ". ISBN 5-7707-8786-4.