Метод прямокутників

Метод прямокутників — найпростіший метод чисельного інтегрування, що полягає у заміні значень функції на проміжку значенням функції в деякій точці проміжку.

Види формули прямокутників

Формула лівих прямокутників

В даному випадку береться значення функції на початку проміжку:

$\int_{a}^{b} f(x)dx=(b-a)f \left(a \right).$

Похибка обчислення рівна: $E(f) = \frac{(b-a)^2}{2} f'(\eta), \quad \eta \in [a,b]$

Формула правих прямокутників

В даному випадку береться значення функції в кінці проміжку:

$\int_{a}^{b} f(x)dx=(b-a)f \left(b \right).$

Як і впопередньому випадку похибка обчислень рівна: $E(f) = \frac{(b-a)^2}{2} f'(\eta), \quad \eta \in [a,b]$

Формула центральних прямокутників

Дана формула має вид:

$\int_{a}^{b} f(x)dx=(b-a)f \left(\frac{a + b}{2} \right).$

Похибка обчислень рівна: $E(f) = \frac{(b-a)^3}{24} f''(\eta), \quad \eta \in [a,b]\,$

Великі формули прямокутників

Для збільшення точності обчислень проміжок інтегрування розбивається на дрібніші проміжки до кожного з яких застосовується формула прямокутників. Загалом кількість проміжків розбиття рівна n і Δ = (b − a) / n то велика формула прямокутників має вигляд:

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(a+i'\Delta)\Delta$

де $i'$ може бути рівним $i-1$, $i$ чи $i-1/2,$ що відповідає формулам лівих, правих і центральних прямокутників.

• 

  Метод лівих прямокутників

• 

  Метод центральних прямокутників

• 

  Метод правих прямокутників

Похибка великої формули центральних прямокутників задовольняє нерівність:

$E(f) \le \frac{\Delta^2(b - a)}{24}f''(\eta), \quad \eta \in [a,b]\,$

Див. також

• Метод трапецій
• Метод Сімпсона