Метод прямокутників

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод прямокутників — найпростіший метод чисельного інтегрування, що полягає у заміні значень функції на проміжку значенням функції в деякій точці проміжку.


Види формули прямокутників[ред.ред. код]

Формула лівих прямокутників[ред.ред. код]

В даному випадку береться значення функції на початку проміжку:

 \int_{a}^{b} f(x)dx=(b-a)f \left(a \right).

Похибка обчислення рівна: E(f) = \frac{(b-a)^2}{2} f'(\eta), \quad \eta \in [a,b]

Формула правих прямокутників[ред.ред. код]

В даному випадку береться значення функції в кінці проміжку:

 \int_{a}^{b} f(x)dx=(b-a)f \left(b \right).

Як і в попередньому випадку похибка обчислень рівна: E(f) = \frac{(b-a)^2}{2} f'(\eta), \quad \eta \in [a,b]

Формула центральних прямокутників[ред.ред. код]

Дана формула має вид:

 \int_{a}^{b} f(x)dx=(b-a)f \left(\frac{a + b}{2} \right).

Похибка обчислень рівна: E(f) = \frac{(b-a)^3}{24} f''(\eta), \quad \eta \in [a,b]\,

Великі формули прямокутників[ред.ред. код]

Для збільшення точності обчислень проміжок інтегрування розбивається на дрібніші проміжки до кожного з яких застосовується формула прямокутників. Загалом кількість проміжків розбиття рівна n і Δ = (b − a) / n то велика формула прямокутників має вигляд:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(a+i'\Delta)\Delta

де i' може бути рівним i-1, i чи i-1/2, що відповідає формулам лівих, правих і центральних прямокутників.

Похибка великої формули центральних прямокутників задовольняє нерівність:

E(f) \le \frac{\Delta^2(b - a)}{24}f''(\eta), \quad \eta \in [a,b]\,

Див. також[ред.ред. код]