Метод скінченних елементів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Двовимірнмй розв'язок магнетостатичної конфігурації отриманий за допомогою МСЕ (лінії показують обчислену густину потоку), а кольорове забарвлення — його величину
Двовимірна сітка для горішнього малюнку (сітка густіша навколо об'єкта, що нас цікавить)

Метод скінчених елементів (МСЕ) — це числова техніка знаходження розв'язків інтегральних та часткових диференціальних рівнянь (ЧДР). Процес розв'язання побудований або на повному усуненні диференціального рівняння для стаціонарних задач, або на розкладі ЧДР в апроксимуючу систему звичайних диференціальних рівнянь, які потім розв'язуються використанням якої-небудь стандартної техніки, такої як метод Ейлера, Рунге-Кутти тощо.

При розв'язанні часткових диференціальних рівнянь, головною метою є створення рівності, що апроксимує досліджувану рівність, і є числово стабільною, тобто помилки у вхідних даних і проміжних обчисленнях не акумулюються і не спричиняють беззмістовних результатів. Для реалізації цього є багато способів, кожен зі своми плюсами і мінусами. Метод скінченних елементів є добрим вибором при розв'язуванні ЧДР, які описують складні середовища (такі як машини, чи нафтогони); при змінності цих середовищ; коли бажана точність змінюється у різних ділянках середовища; чи коли розв'язку не вистачає гладкості. Наприклад, при моделювання фронтального розбиття машини, є можливість збільшити точність моделювання у важливіших зонах, таких, як передня частина машини, і зменшити її при обрахунку того, що відбудеться із задньою частиною машини (тим самим зменшивши ресурсоємність моделювання). Іншим прикладом може служити моделювання погоди на Землі, при якому важливішою є погода над сушею, ніж над безкраїми морськими просторами.

Історія[ред.ред. код]

Метод скінченних елементів (МСЕ) виник з потребою роз'язування складних задач еластичності та структурного аналізу в цивільній, морській та авіаінженерії. Його розвиток можна відслідкувати ще в роботах Олександра Хренікова (1941) та Річарда Куранта (1942). При тому, що бачення двох науковців були неймовірно різними, вони усеж таки сходились на найважливішому: розподілення великої неперевної області на менші домени, які як правило називаються елементами.

У своїй роботі Хреніков розподіляв домен використовуючи принцип решітки. В той самий час Курант розділяв область на скінченну кількість трикутних підобластей, які відповідають розв'язкам еліптичних ЧДР другого порядку, які постають від проблеми скручення циліндра. Внесок Куранта був еволюційним, себто спирався на великий багаж знань про такі ЧДР, який накопичили Рейліг, Рітц та Гальоркін.

Розвиток методу скінченних елементів почався в середині 1950-х років для потреб аеротруби та структурного аналізу і дістав свого найбільшого розвитку в Штутгартському університеті в роботі Джона Аргеріса та в університеті Берклі, а точніше в роботі Рея В. Клафа в 1960-х для використання у цивільній інженерії. До кінця 1950-х ключові концепції матриці жорсткості та збір елементів вже існували практично в таких само формах, в яких вони застосовуються і зараз. В 1965 році на замовлення НАСА була написана програма НАСТРАН, як програмне забезпечення побудоване для реалізації МСЕ. Сам метод був строго доведений в 1973 році в публікації Стренга та Фікса — «Аналіз методу скінченних елементів», і з того часу був узагальнений в окрему галузь прикладної математики та математичного моделювання фізичних систем в великій кількості інженерних дисциплін, таких як електромагнетизм чи рідинна динаміка.

Застосування[ред.ред. код]

Метод скінченних елементів, зазвичай на стадії дизайну та розробки продуктів, використовує багато дисциплін здебільшого з сім'ї механічної інженерії (таких як аеро-, морська, біометрична та автомобільна індустрії). Декілька сучасних МСЕ пакетів включають спеціальні елементи такі, як термальні, електромагнітні, рідинні та структурні робочі середовища. В структурному моделюванні МСЕ дуже допомагає у генерації жорсткісних і силових візуалізацій у місцях зсувів та згинів, та відображання розповсюдження сил та зміщень.

МСЕ-програми забезпечують широкий спектр моделювальних можливостей контролю складності і модельовальної і аналітичної систем. За потреби в більшості інженерних програм можна змінювати бажаний рівень точності, час, потрібний для необхідних та асоційованих обчислень.

МСЕ дозволяє проектувати, відлагоджувати та оптимізовувати продукцію перед її випуском. Цей могутній засіб проектування відчутно покращив стандарти інженерних проектів та методологію цього процесу у багатьох сферах. Використання МСЕ зменшило час, за який продукт проходив від концепції до конвеєра. Його головною ідеєю було покращення початкових прототипів використовуючи МСЕ, що сприяло прискоренню їхнього тестування та розробки. В цілому, перевагами МСЕ є збільшення точності, покращення дизайну і краще бачення його критичних параметрів, створення віртуальних прототипів, зменшення кількості реальних прототипів, пришвидшення та здешевлення проектування, збільшення продуктивності та прибутковості.

Технічна сторона[ред.ред. код]

Розглянемо дію методу на двох прикладах, на які можна екстраполювати основний метод.

П1 є одновимірною проблемою:

\mbox{P1 }:\begin{cases}
u''=f \mbox{ in } (0,1), \\
u(0)=u(1)=0,
\end{cases}

, де f є заданою функцією, а u — невідома функція від x, і u'' є другою похідною функції u по змінній x.

Двовимірна проблема є відомою під назвою проблема Діріхле:

\mbox{P2 }:\begin{cases}
u_{xx}+u_{yy}=f & \mbox{ in } \Omega, \\
u=0 & \mbox{ on } \partial \Omega,
\end{cases}

, де \Omega є відкритою зв'язною областю на площині (x,y), з «гарною» (наприклад багатокутником) границею, а u_{xx} і u_{yy} — другі похідні функції u по x, та по y відповідно.

Проблему П1 можна розв'ятати прямо — обраховуванням первісних. Хоча, цей метод розв'язування задач на граничних значеннями працює коли є тільки один просторовий вимір і не узагальнюється на багатовимірні задачі чи на задачі виду u+u''=f. З цієї причини, ми застосуємо метод скінченних елементів на П1 і опишемо його узагальнення на П2.

Наше пояснення відбуватиметься у два кроки, які віддзеркалюють два основних кроки для розв'язання задач на граничні значення використовуючи МСЕ.


На першому кроці, ми маємо перетворити ЧДР у його «слабку», чи варіаційну форму. Для цього кроку, як правило, ніяких обчислень взагалі не потрібно — всі перетворення робляться вручну на папері.

Другий крок полягає у дискритизації, де ця «слабка» форма є дискритизованою на скінченновимірному просторі.

Після цього другого кроку, ми маємо конкретну формулу для великої, зате скінченновимірної лінійної задачі, розв'язок якої буде приблизно ров'язувати початкове ЧДР. Опісля, скінченновимірну задачу розв'язують на комп'ютері.

Переваги і недоліки МСЕ[ред.ред. код]

Найважливішими перевагами методу скінченних елементів є:

  • Властивості матеріалів суміжних елементів можуть бути різними. Це дозволяє застосовувати метод до тіл, складених з декількох матеріалів.
  • Скінченними елементами є прості області (прямі лінії, трикутники, прямокутники, піраміди, призми). Таким чином, даним методом можна апроксимувати тіла із складною формою країв.
  • Розміри елементів можуть бути змінними. Це дозволяє збільшувати чи зменшувати елементи сітки.
  • За допомогою МСЕ легко розглянути граничні умови з розривним поверхневим навантаженням, а також змішані граничні умови.
  • Алгоритм методу скінченних елементів дозволяє створити загальні програми для розв'язку завдань різного класу.
  • Завдання зводиться до розв'язку системи рівнянь алгебри великої розмірності. Проте хороша обумовленість системи розв'язних рівнянь алгебри дозволяє отримувати досить точні розв'язки для систем рівнянь розмірністю 5-10 мільйонів і більше.

Головний недолік цього методу полягає у потребах великого обсягу пам'яті ЕОМ і високої швидкості розрахунку. В наш час[Коли?] розвиток ЕОМ практично усунув цей недолік.

Дивіться також[ред.ред. код]