Метод трапецій (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Функція f(x) (синій колір) апроксимується лінійною функцією (червоний колір).

В математиці, метод трапецій є методом наближеного обчислення значення визначеного інтегралу

 \int_{a}^{b} f(x)\, dx.

Ідея методу трапецій полягає в наближенні області під графіком функції f(x) трапецією та обчисленні її площі[1]. Якщо застосувати цю ідею безпосередньо до інтервалу [a,b], то отримаємо

 \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \frac{f(a) + f(b)}{2}(b-a),\quad (*)

але це незадовільно з приводу великої похибки.

Для точнішого обчислення значення інтегралу, слід попередньо розбити інтервал інтегрування [a, b] на n підінтервалів [a,x_1],[x_1,x_2],\ldots,[x_{n-1},b], та застосувати формулу (*) до кожного із них. Таким чином, отримуємо:

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,dx 
\approx \sum_{i=1}^n \frac{f(x_i)+f(x_{i-1})}{2}\Delta x_i,

де  \Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}, x_0=a, x_n=b.

У методі трапецій переважно застосується розбиття інтервалу інтегрування на n рівних відрізків довжиною h=\Delta x=(b-a)/n. Тоді попередня формула перетворюється на таку:

\int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \left(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right)h,

і похибка, так званий залишковий член E(f) не перевищує за \frac{(b-a)^3M}{12n^2}, де M=\operatorname{max}\{|f''(x)|:x\in[a,b]\} — це максимум другої похідної функції f(x) на всьому інтервалі[Джерело?]. Відзначимо, що за збільшення числа n інтервалів розбиття, залишковий член зменшується як O(1/n^2).

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Турчак Л. И. (1987). Основы численных методов. Москва: Наука. 

Дивіться також[ред.ред. код]