Метрика простору-часу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Схематичне двовимірне зображеня викривлення простору-часу біля масивного тіла

Ме́трика про́стору-ча́су — 4-тензор, який визначає властивості простору-часу в загальній теорії відносності.

Опис поняття[ред.ред. код]

Просторово-часовий інтервал виражається через метрику простору-часу формулою

 ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j \, .

де  g_{ij}  — метричний тензор.

В інерційній системі відліку матриця метричного тензора простору-часу має вигляд

 \hat{g} =  \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)    .

В неінерційних системах відліку вигляд метрики простору-часу змінюється і загалом залежить від точки простору і моменту часу.

Метрика простору-часу задає викривлення простору, яке відчуває спостерігач, що рухається з прискоренням. Оскільки за принципом еквівалентності спостерігач жодним чином не може відрізнити неінерційність зв'язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає також викривлення простору в полі масивних тіл.

Метрика простору-часу використовується для встановлення зв'язку між коваріантними і контраваріантними записами будь-якого 4-вектора

 A_i = g_{ij}A^j \, .

Властивості[ред.ред. код]

Метричний тензор симетричний відносно своїх індексів, тобто  g_{ij} = g_{ji} . Це видно із загальної формули для квадрата диференціалу просторово-часового інтрервалу. Детермінант метрики простору часу, який позначається g, від'ємний.

Контраваріантна форма метричного тензора зв'язана з коваріантною за допомогою повністю антисиметричного тензора четвертого порядку

 E^{ijkl} = \frac{1}{\sqrt{-g}} e^{ijkl} \,,

де  e^{ijkl} — звичайний повністю антисиметричний тензор, визначений в інерційній системі відліку, тобто тензор, компоненти якого дорівнюють 1 або −1 і змінюють знак при перестановці будь-яких двох індексів.

Таким чином

 g^{ij} = \frac{1}{\sqrt{-g}} e^{ijkl} g_{kl} \,

Метричний тензор, як будь-який симетричний тензор, можна вибором системи відліку звести до діагонального вигляду. Проте ця операція справедлива лише в певній точці простору-часу, і, в загальному випадку, не може буде проведена для всього простору-часу.

Власний час[ред.ред. код]

Квадрат диференціалу просторово-часового інтервалу для однієї просторової точки дорівнює

 ds^2 = g_{00} (dx^0)^2 = c^2 d\tau^2\; ,

де c — швидкість світла у вакуумі.

Величину

 \tau = \frac{1}{c}\int\sqrt{g_{00}} dx^0

називають власним часом для даної точки простору.

Просторовий інтервал[ред.ред. код]

Квадрат віддалі між двома нескінченно близькими точками задається формулою

 dl^2 = \gamma_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta = \left( - g_{\alpha\beta} + \frac{g_{\alpha 0} g_{0\beta}}{g_{00}} \right) dx^\alpha dx^\beta

Грецькі індекси використовуються тоді, коли підсумовування ведеться лише по просторових координатах. Тензор  \gamma_{\alpha\beta} є метричним тензором для тривимірного простору.

Інтегрувати визначену таким чином віддаль не можна, оскільки результат залежав би від світової лінії, по якій велося б інтегрування. Таким чином, у загальній теорії відносності поняття віддалі між далекими об'єктами в тривимірному просторі втрачає сенс. Єдиний виняток — ситуація, в якій метричний тензор g_{ij} не залежить від часу.

Джерела[ред.ред. код]

  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука. 
Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.