Метричний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метри́чний про́стір — це пара (X,d), яка складається з деякої множини X елементів і відстані d, визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Метричним простором називається пара (X,\;d), яка складається з деякої множини елементів \;X і відстані d\colon X\times X\to\R, а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції \;d(x,y), визначеної для \forall x,y\in X, яка задовільняє наступні 3 аксіоми:

  1. d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y (аксіома тотожості).
  2. d(x,\;y)=d(y,\;x) (аксіома симетрії).
  3. d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z) (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою наступних міркувань:

0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)

Приклади метричних просторів[ред.ред. код]

  1. Простір ізольованих точок
    d(x,y) = \begin{cases} 0, & x=y\\ 1, & x \ne\ y \end{cases}
  2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір \R^1
    d(x,\;y) = |x-y|
  3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел x=(x_1,x_2,\ldots,x_n) з відстанню
    d(x,\;y) = \sqrt{\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)^2}
    називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором \R^n.
  4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел x=(x_1,x_2,\ldots,x_n), але з відстанню
    d_1(x,\;y) = \sum_{k=1}^n |y_k - x_k|
    позначимо простором \R^n_1.
  5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:
    d_\infty(x,\;y) = \max_{1\leqslant k \leqslant n} |y_k-x_k|
    Цей простір \mathbb{R}^n_\infty в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір \mathbb{R}^n.
  6. Множина C_{[a,b]} всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку [a,b] з відстанню
    d(f,\;g)= \max_{a \leqslant t \leqslant b}|g(t)-f(t)|
  7. Позначимо через \mathit{l}_2 метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots) дійсних чисел, що задовільняють умові: \sum_{k=1}^\infty x_k^2 < \infty, а відстань визначається формулою:
    d(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^\infty (y_k-x_k)^2}
  8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку [a,b], але відстань визначимо по-іншому, а саме:
    d(x,y)=\left (\int_a^b (x(t)-y(t))^2 \right)^{1/2}
    Такий метричний простір позначимо C_2[a,b] і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
  9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots) дійсних чисел, отримаємо простір \mathit m з метрикою:
    d(x,\;y)=\sup_{k}|y_k-x_k|
  10. Множина впрядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
    d(x,\;y)=(\sum_{k=1}^n |y_k-x_k|^p)^{1/p},
    де p — будь-яке фіксоване число \geq 1. Цей простір позначимо \mathbb{R}^n_p

Метричні простори та аксіоми зліченності[ред.ред. код]

1. Будь-який метричний простір задовільняє другу аксіому зліченності.

2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовільняє другу аксіому зчисленності.

Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжність[ред.ред. код]

Будь-який метричний простір є топологічним простором, тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природнім чином поширити на метричні простори.

Для будь-якої точки \;x метричного простору \;X визначимо відкриту кулю радіуса \;r>0 з центром в точці \;x, як множину B(x,r)\equiv\{y\in X|d(x,y)<r\}. Такі відкриті кулі породжують топологію на \;X, а значить і топологічний простір. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі аксіоми віддільності.

Підмножина \;U метричного простору \;X називається відкритою, якщо  \forall x\in U \;\exists r>0 , такий що B(x,r) \subset U. Доповненням до відкритої множини називається замкнута множина. Околом точки x \in X називається будь-яка відкрита підмножина \;X, що містить \;x.

Послідовність \{\;x_n\} метричного простору \;X називається збіжною до границі x \in X тоді і тільки тоді, коли \forall \epsilon>0 \;\exists N\in \N \;\forall n>N \;d(x_n,x) < \epsilon. Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина \;A метричного простору \;X замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність \;A збіжна в \;X і має границю, що належить \;A.

Гомеоморфізм. Ізоморфізм[ред.ред. код]

Якщо відображення \;f:X \to Y взаємно однозначне, то існує обернене відображення \;x=f^{-1}(y) простору \;Y на простір \;X. Якщо відображення \;f взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори \;X та \;Y, між якими можно встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція \;f між метричними просторами (X,\;d_1) і (Y,\;d_2) є ізометрією, якщо d_1(x_1,x_2)=d_2(f(x_1),f(x_2))\; \forall x_1,x_2 \in \R. Простори \;X і \;Y, між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їх елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєве. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

Типи метричних просторів[ред.ред. код]

Повні простори[ред.ред. код]

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною до елемента цього простору:  \forall \epsilon>0\; \exists N\in\N\; \forall n>N\; \forall m>N\; d(x_n,x_m) <\epsilon .

Будь-який евклідів простір, як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине(з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді щільної підмножини.

Якщо \;X повна підмножина метричного простору \;M, то \;X є замкненим в \;M. Дійсно, простір \;X\subset M є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі \;M.

Якщо \;(X,d) — повний метричний простір, то \;X є множиною другої категорії(англ.).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1.