Многочлени Бернуллі

У математиці, Многочлени Бернуллі — многочлени, названі на честь Якоба Бернуллі, що виникають при вивченні багатьох спеціальних функцій, зокрема ζ-функції Рімана і ζ-функції Гурвіца, також є окремим випадком послідовності Аппеля. На відміну від ортогональних многочленів, многочлени Бернуллі визначні тим, що число коріння в інтервалі $\ [0,1]$ не збільшується із зростанням степеня многочлена. При необмеженому збільшенні степеня, многочлени Бернуллі наближаються до тригонометричних функцій.

Визначення

Многочлени Бернуллі $\ B_n(x)$ можна визначити різними способами. Вибір визначення залежить від зручності в тому або іншому випадку.

Явна формула

$B_n(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k B_{n-k} x^k$, где $C_n^k$ — біноміальні коефіцієнти, $\ B_k$ — числа Бернуллі.

Або

$B_n(x)= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m (-1)^k C_m^k (x+k)^n.$

Генератриса

Генератриса для многочленів Бернуллі рівна:

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.$

Представлення диференціальним оператором

$B_n(x)={D \over e^D -1} x^n$, где — оператор формального диференціювання.

Визначення за допомогою інтегрального оператора

Многочлени Бернуллі є єдиними многочленами, що задовольняють рівняння

$\int_x^{x+1} B_n(u)\,du = x^n.$

Інтегральний оператор

$(Tf)(x) = \int_x^{x+1} f(u)\,du$

для многочленів f, приймає ті ж значення, що й

$\begin{align} (Tf)(x) = {e^D - 1 \over D}f(x) & {} = \sum_{n=0}^\infty {D^n \over (n+1)!}f(x) \\ & {} = f(x) + {f'(x) \over 2} + {f''(x) \over 6} + {f'''(x) \over 24} + \cdots. \end{align}$

Явний вигляд для найменших степенів

Многочленами Бернуллі для найменших степенів є:

$\ B_0(x)=1,$

$B_1(x)=x-\frac{1}{2},$

$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.$

Властивості

Значення в нулі

Значення многочленів Бернуллі при $\ x=0$ рівні відповідним числам Бернуллі:

$\ B_n(0)=B_n$.

Диференціювання і інтегрування

$\ B'_n(x)=n B_{n-1}(x)$.

Невизначені інтеграли:

$\int_a^x B_n(t)\,dt = \frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}$

Визначені інтеграли:

$\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt = (-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m} \quad m,n \ge 1$

Множення аргументу

$B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{s=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{s}{m}\right)$.

Сума аргументу

$B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}$

Симетрія

$\ B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x),$

$\ (-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}.$

Ряд Фур'є

Ряди Фур'є для многочленів Бернуллі є також рядами Діріхле:

$B_n(x) = -\frac{n!}{(2\pi i)^n}\sum_{k\not=0 }\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}= -2 n! \sum_{k=1} \frac{\cos\left(2 k \pi x- \frac{n \pi} 2 \right)}{(2 k \pi)^n}.$

Цей розклад справедливий коли 0 ≤ x ≤ 1 для n ≥ 2 і у випадку 0 < x < 1 для n = 1.

Обертання

$x^n = \frac {1}{n+1} \sum_{k=0}^n {n+1 \choose k} B_k (x)$

Посилання

• Kurtulan, Ali Burak "Bernoulli Polynomials and Their Applications"

Література

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.