Многочлени Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, Многочлени Бернуллімногочлени, названі на честь Якоба Бернуллі, що виникають при вивченні багатьох спеціальних функцій, зокрема ζ-функції Рімана і ζ-функції Гурвіца, також є окремим випадком послідовності Аппеля. На відміну від ортогональних многочленів, многочлени Бернуллі визначні тим, що число коренів в інтервалі \ [0,1] не збільшується із зростанням степеня многочлена. При необмеженому збільшенні степеня, многочлени Бернуллі наближаються до тригонометричних функцій.

Визначення[ред.ред. код]

Многочлени Бернуллі \ B_n(x) можна визначити різними способами. Вибір визначення залежить від зручності в тому або іншому випадку.

Явна формула[ред.ред. код]

B_n(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k B_{n-k} x^k, де C_n^kбіноміальні коефіцієнти, \ B_kчисла Бернуллі.

Або

B_n(x)= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m (-1)^k C_m^k (x+k)^n.

Генератриса[ред.ред. код]

Генератриса для многочленів Бернуллі рівна:

\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.

Представлення диференціальним оператором[ред.ред. код]

B_n(x)={D \over e^D -1} x^n, где — оператор формального диференціювання.

Визначення за допомогою інтегрального оператора[ред.ред. код]

Многочлени Бернуллі є єдиними многочленами, що задовольняють рівняння

\int_x^{x+1} B_n(u)\,du = x^n.

Інтегральний оператор

(Tf)(x) = \int_x^{x+1} f(u)\,du

для многочленів f, приймає ті ж значення, що й


\begin{align}
(Tf)(x) = {e^D - 1 \over D}f(x) & {} = \sum_{n=0}^\infty {D^n \over (n+1)!}f(x) \\
& {} = f(x) + {f'(x) \over 2} + {f''(x) \over 6} + {f'''(x) \over 24} + \cdots.
\end{align}

Явний вигляд для найменших степенів[ред.ред. код]

Многочленами Бернуллі для найменших степенів є:

\ B_0(x)=1,
B_1(x)=x-\frac{1}{2},
B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},
B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},
B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x,
B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.

Властивості[ред.ред. код]

Значення в нулі[ред.ред. код]

Значення многочленів Бернуллі при \ x=0 рівні відповідним числам Бернуллі:

\ B_n(0)=B_n.

Диференціювання і інтегрування[ред.ред. код]

\ B'_n(x)=n B_{n-1}(x).

Невизначені інтеграли:

\int_a^x B_n(t)\,dt = 
\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}

Визначені інтеграли:

\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt = 
(-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m}
\quad  m,n \ge 1

Множення аргументу[ред.ред. код]

B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{s=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{s}{m}\right).

Сума аргументу[ред.ред. код]

B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}

Симетрія[ред.ред. код]

\ B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x),
\ (-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}.

Ряд Фур'є[ред.ред. код]

Ряди Фур'є для многочленів Бернуллі є також рядами Діріхле:

B_n(x) = -\frac{n!}{(2\pi i)^n}\sum_{k\not=0 }\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}= -2 n! \sum_{k=1} \frac{\cos\left(2 k \pi x- \frac{n \pi} 2 \right)}{(2 k \pi)^n}.

Цей розклад справедливий коли 0 ≤ x ≤ 1 для n ≥ 2 і у випадку 0 < x < 1 для n = 1.

Обертання[ред.ред. код]

x^n = \frac {1}{n+1} 
\sum_{k=0}^n {n+1 \choose k} B_k (x)

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.
  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
  • Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.