Многочлен поділу кола

Многочлен поділу кола — многочлен, що має вигляд:

$\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\,$

де $\omega$ — первісні корені степеня n з одиниці і добуток береться по всіх таких коренях. Степінь многочлена $\Phi_n(X)$ — кількість натуральних чисел, менших, ніж n, і взаємно простих з n.

Властивості

Многочлени поділу кола задовольняють співвідношенню:

$\prod_{d\mid n}\Phi_d(X) = X^n - 1$

де добуток береться по всіх додатних дільниках d числа n, включаючи і саме n. Це співвідношення дозволяє рекурсивно обчислювати многочлени $\Phi_n(X)$ шляхом ділення многочлена $X^n - 1$ на добуток всіх $\Phi_n(X), \, d<n, \, d\mid n$:

$\Phi_n(X)=\frac{X^{n}-1}{\prod_{d|n}\Phi_{d}(X)}$

При цьому коефіцієнти многочлена належать початковому полю P,а у випадку поля раціональних чисел — коефіцієнти є цілими числами.

Якщо n=p^m — степінь простого числа і характеристика поля P рівна нулю то:

$\Phi_n(X) = \sum_{0\le k\le p-1}X^{kp^{m-1}}.$

Зокрема для m = 1:

$\Phi_p(X) = 1+X+X^2+\cdots+X^{p-1}.$

Для многочлена $\Phi_n(X)$ можна подати явну формулу через функцію Мебіуса μ:

$\prod_{d\mid n}(X^d-1)^{\mu(n/d)} = \Phi_n(X)$

Наприклад:

$\Phi_{12}(X)=(X^12-1)(X^6-1)^{-1}(X^4-1)^{-1}(X^3-1)^0(X^3-1)(X^1-1)^0 = X^4 - X^2 + 1$

Над полем раціональних чисел всі многочлени $\Phi_n(X)$ є незвідними, але над скінченними полями ці многочлени можуть розкладатися на множники. Так, над полем лишків по модулю 11 виконується рівність: $\Phi_{12}(X)= X^4 - X^2 + 1= (X^2 + 5X^1 + 1) (X^2 - 5X + 1).$

Рівняння ділення кола

Рівняння $\Phi_n(X) = 0$, що дає всі первісні корені степеня n з одиниці, називаються рівнянням ділення кола. У випадку числових полів рішення цього рівняння в тригонометричній формі має вигляд:

$\xi^k_n=\cos\frac{2\pi k}n+i\sin\frac{2\pi k}n$

де дріб $\frac{k}n$ нескоротний, тобто k і n — взаємно прості. Розв'язок в радикалах рівняння ділення кола тісно пов'язано із задачею побудови правильного n-кутника або з еквівалентною їй задачею ділення кола на n рівних частин, а саме, завдання ділення кола на n частин розв'язується за допомогою циркуля і лінійки тоді і тільки тоді, коли рівняння $\Phi_n(X) = 0$ розв'язується в квадратних радикалах.

Приклади

$\Phi_1(X) = X-1$

$\Phi_2(X) = X+1$

$\Phi_3(X) = X^2 + X + 1$

$\Phi_6(X) = X^2 - X + 1$

$\Phi_9(X) = X^6 + X^3 + 1$

$\Phi_{15}(X) = X^8 - X^7 + X^5 - X^4 + X^3 - X + 1$

Література

1. Е.Артін, Теорія Галуа. — К.: Радянська школа, 1963.
2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975