Многочлен поділу кола

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Многочлен поділу коламногочлен, що має вигляд:

\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\,

де \omegaпервісні корені степеня n з одиниці і добуток береться по всіх таких коренях. Степінь многочлена \Phi_n(X) — кількість натуральних чисел, менших, ніж n, і взаємно простих з n.

Властивості[ред.ред. код]

Многочлени поділу кола задовольняють співвідношенню:

\prod_{d\mid n}\Phi_d(X) = X^n - 1

де добуток береться по всіх додатних дільниках d числа n, включаючи і саме n. Це співвідношення дозволяє рекурсивно обчислювати многочлени \Phi_n(X) шляхом ділення многочлена X^n - 1 на добуток всіх \Phi_n(X), \, d<n, \, d\mid n:

\Phi_n(X)=\frac{X^{n}-1}{\prod_{d|n}\Phi_{d}(X)}

При цьому коефіцієнти многочлена належать початковому полю P,а у випадку поля раціональних чисел — коефіцієнти є цілими числами.

Якщо n=pm — степінь простого числа і характеристика поля P рівна нулю то:

\Phi_n(X) = \sum_{0\le k\le p-1}X^{kp^{m-1}}.

Зокрема для m = 1:

\Phi_p(X) = 1+X+X^2+\cdots+X^{p-1}.

Для многочлена \Phi_n(X) можна подати явну формулу через функцію Мебіуса μ:

\prod_{d\mid n}(X^d-1)^{\mu(n/d)} = \Phi_n(X)

Наприклад:

\Phi_{12}(X)=(X^12-1)(X^6-1)^{-1}(X^4-1)^{-1}(X^3-1)^0(X^3-1)(X^1-1)^0 = X^4 - X^2 + 1

Над полем раціональних чисел всі многочлени \Phi_n(X) є незвідними[1], але над скінченними полями ці многочлени можуть розкладатися на множники. Так, над полем лишків по модулю 11 виконується рівність: \Phi_{12}(X)= X^4 - X^2 + 1= (X^2 + 5X^1 + 1) (X^2 - 5X + 1).

Рівняння ділення кола[ред.ред. код]

Рівняння \Phi_n(X) = 0, що дає всі первісні корені степеня n з одиниці, називаються рівнянням ділення кола. У випадку числових полів рішення цього рівняння в тригонометричній формі має вигляд:

\xi^k_n=\cos\frac{2\pi k}n+i\sin\frac{2\pi k}n

де дріб \frac{k}n нескоротний, тобто k і n — взаємно прості. Розв'язок в радикалах рівняння ділення кола тісно пов'язано із задачею побудови правильного n-кутника або з еквівалентною їй задачею ділення кола на n рівних частин, а саме, завдання ділення кола на n частин розв'язується за допомогою циркуля і лінійки тоді і тільки тоді, коли рівняння \Phi_n(X) = 0 розв'язується в квадратних радикалах.

Приклади[ред.ред. код]

\Phi_1(X) = X-1
\Phi_2(X) = X+1
\Phi_3(X) = X^2 + X + 1
\Phi_6(X) = X^2 - X + 1
\Phi_9(X) = X^6 + X^3 + 1
\Phi_{15}(X) = X^8 - X^7 + X^5 - X^4 + X^3 - X + 1

Примітки[ред.ред. код]

  1. Для доведення див. Е.Артін, Теорія Галуа ст. 64-66

Література[ред.ред. код]

  1. Е.Артін, Теорія Галуа. — К.: Радянська школа, 1963.
  2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975