Множення двохелементного тензора

В математиці, в розділі мультилінійна алгебра, множення двохелементного тензора (dyadic product)

$\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}$

це тензорний добуток вектор стовпчика $\mathbf{u}$ і вектор рядочка $\mathbf{v}$. Результат це тензор рангу два (матриця). Це спеціальный клас векторного добутку чи добутку Кронекера, для векторів одинакової розмірності.

Приклад

$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\ u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\ u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3 \end{bmatrix}.$

Означення

Правило сумування Ейнштейна для множения двохелементного тензора

$\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$

може буть визначене

$\mathbb{P}_{ij} = u_i v_j$.

Зі знаком сумувания, отримаємо

$\sum_{i,j}u_i v_j \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j^T$.

Див. також

• Двохелементний тензор
• Тензорний добуток