Множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Множина́ — одне з основних понять сучасної математики. Строго воно не визначається, але може бути дано інтуїтивне визначення множини як сукупності певних і різних об'єктів довільної природи, яка розглядається як одне ціле. Об'єкти, які складають множину, називаються її елементами. Наприклад, можна говорити про множину усіх книг в певній бібліотеці, множину літер українського алфавіту або про множину всіх коренів певного рівняння тощо.

Основні поняття[ред.ред. код]

Множина вважається означеною, якщо про кожен об'єкт, що розглядається, можна казати, що він або належить, або не належить множині. Ідентичні (тобто однакові) об'єкти в множині не допускаються.

На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами. Для деяких множин у математиці вживаються сталі позначення. Наприклад:


  • Нехай А - множина. Той факт, що елемент x входить в множину А, або належить множині А, позначається як xA. Той факт, що елемент x не входить в множину А, позначається x ∉ A. Знак ∈ називається знаком належності. Він є стилізацією першої літери грецького слова εστι (бути).
  • Множина B, всі елементи якої належать множині А, називають підмножиною множини A, або частиною множини А і позначають цей факт символами B ⊆ A, A ⊇ B.

Непуста підмножина B даної множини А, відмінна від множини А, має назву правильної частини (або власної підмножини чи точної підмножини) множини А. Для позначення того факту, що B є підмножиною А, яка не збігається з А, використовують позначки BA, AB. Знаки ⊆, ⊇, ⊂, ⊃ називаються знаками включення.

Докладніше дивись Підмножина.
  • Дві множини А та B є рівними (позначається A = B), коли вони мають однакові елементи.
  • В теорії множин виділяють також порожню множину, тобто множину, в яку не входить жоден елемент. Така множина позначається як ∅. Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Також завжди AA, що природно, адже кожний елемент множини А належить цій множині.
Докладніше дивись Порожня множина.

Способи задання множин[ред.ред. код]

  • Задання множини за допомогою переліку її елементів.

Нехай множина X складається з елементів a, b, c, ..., k. Для означення цього факту використовується позначення:

X = {a, b, c, ... , k}
A = {4, 2, 1, 3}
B = {червоний, білий, блактиний}

Наприклад, множина натуральних чисел ℕ визначається як:

ℕ = {1, 2, 3, ... , n, ...}
  • Задання множини вказівкою властивості її елементів.

В математичних задачах, як правило, розглядають елементи деякої цілком означеної множини A. При цьому необхідні елементи виділяють за деякою їх властивістю (або вказують породжуючу процедуру) P, такою що кожний елемент x ∈ A або має властивість P (записується P(x)), або не має її. За допомогою властивості P виділимо множину всіх тих елементів, які мають властивість P. Цю множину будемо позначати як {xA | P(x)} = {x | P(x)}. Задання множини вказівкою її властивості (або породжуючим предикатом) слід здійснювати обережно. Наприклад, множина Y = {X|X∉X} (множина всіх множин, які не містять себе в якості елемента) веде до парадокса Рассела і є некоректною в аксіоматичній теорії множин.

Операції з множинами[ред.ред. код]

Доповнення та різниця множин[ред.ред. код]

Нехай задана деяка множина U (універсальна множина або універсум). Якщо AU, то елементи множини U, які не належать А, називаються доповненням множини А до множини U і позначають як CUA або UCA. Якщо AU, BU, то доповнення множини B до А називають різницею множин А та B (саме в такому порядку) і позначають А \ B або А-B, тобто A \ B = {x:x ∈ A ∧ x ∉ B}.

B мінус A
Різниця множин A та B
Доповнення A
Доповнення множини A до U
Примітка: Тут символ ∧ означає вимогу одночасної справедливості обох частин твердження (логічна зв'язка "І", кон'юнкція). Парний з ним символ ∨ означає вимогу справедливості щонайменш одного з двох тверджень (чи обох одночасно) (диз'юнкція, логічне АБО).

Приклади:

  • {1, 2} − {червоний, білий} = {1, 2}
  • {1, 2, зелений} − {червоний, білий, зелений} = {1, 2}
  • {1, 2} − {1, 2} = ∅
  • Якщо U - множина цілих чисел, то доповнення її підмножини A всіх парних чисел є підмножина В всіх непарних чисел.

Деякі властивості операції доповнення:

  • A ∪ A′ = U
  • A ∩ A′ = ∅
  • (A′)′ = A
  • A − B = A ∩ B′

Об'єднання множин[ред.ред. код]

A union B
Об'єднання множин A та B

Об'єднанням множин А та B називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одній з множин A, B:

  • A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Приклади:

  • {1, 2} ∪ {червоний, білий} = {1, 2, червоний, білий}
  • {1, 2, зелений} ∪ {червоний, білий, зелений} = {1, 2, червоний, білий, зелений}
  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Деякі властивості операції об'єднання:

  • A ∪ B   =   B ∪ A
  • A  ⊆  A ∪ B
  • A ∪ A   =  A
  • A ∪ ∅   =  A

Перетин множин[ред.ред. код]

A intersect B
Перетин множин A та B

Перетином множин А та B називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать кожній із множин А, B:

  • A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Кажуть, що множини не перетинаються, якщо A ∩ B = ∅

Приклади:

  • {1, 2} ∩ {червоний, білий} = ∅
  • {1, 2, зелений} ∩ {червоний, білий, зелений} = {зелений}
  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Деякі властивості перетину:

  • A ∩ B   =   B ∩ A
  • A ∩ B   ⊆   A
  • A ∩ A   =   A
  • A ∩ ∅   =   ∅

Симетрична різниця множин[ред.ред. код]

Симетрична різниця множин A та B є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох. Позначається як AΔB.

Sym complement.png
Симетрична різниця AΔB

Наприклад, симетрична різниця множин {1,2,3} та {3,4} є {1,2,4}.

Деякі властивості симетричної різниці:

A Δ B = (AB) ∪(BA)
A Δ B = (AB) − (AB)

Алгебра множин[ред.ред. код]

Операції ∩, ∪ та доповнення множини утворюють алгебру з певними властивостями.

Потужність множини[ред.ред. код]

Практично всі з розглянутих вище множин має визначену кількість елементів. Наприклад, множина А з розділу "Способи задання множин" має 4 елементи, множина B - три елементи. Порожня множина має нуль елементів. Існують множини, які мають нескінченну кількість елементів. Такою є множина ℕ всіх натуральних чисел. Поняття потужності множин стає важливим в контексті встановлення відношень між множинами. Зрозуміло, наприклад, що взаємооднозначне відношення між множинами А та B можливо встановити лише коли кількість їхніх елементів збігається. Особливо важливою проблема порівняння потужності постає для множин з нескінченною кількістю елементів. Виявляється, що потужності таких множин можуть бути не рівними, і це призводить до деяких цікавих наслідків.

Декартовий добуток множин[ред.ред. код]

Декартовий добуток (прямий декартів добуток) множин X та Y - це множина усіх можливих впорядкований пар або кортежів, першими компонентами яких є елементи множини X, а другими - елементи множини Y.

Декартовий добуток множин X та Y позначається як X × Y: X × Y = { (x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }

Тут впорядкована пара (x, y) елементів x, y є множина {{x}, {x, y}}, яка має таку властивість, що (x, y) ≠ (y, x).

Див. також[ред.ред. код]