Множина Мандельброта

Множина Мандельброта.
Колір відповідає швидкості зростання Z_n

Множина мандельброта — обмежена та зв’язна множина на комплексній площині, межа якої утворює фрактал. Названа на честь Бенуа Мандельброта, який вивчав і популяризував її.

Поетично

Візьмімо точку, назвем її $Z$, що лежить на комплексній площині.
І нехай $Z_1$ буде $Z^2+C$
І $Z_2$ буде $Z_1^2+C$
І $Z_3$ буде $Z_2^2+C$ і так далі
Якщо послідовність з $Z$ завжди залишається
Близько до $Z$ і ніколи не відхиляється геть
Тоді точка C належить множині Мандельброта.
Пісня про множину Мандельброта

Формально

Сукупність елементів $c$ поля комплексних чисел, для яких послідовність:$\{z_n:n \ge 0\}$, що визначена ітераційно за правилом

$z_{n+1}=z_n^2+c$, де $z_0=0 \,$

задовольняє умову

$\sup_{n \in \mathbb N}|z_n|<\infty$

називають множиною Мандельброта.

Комплексні числа можна трактувати як точки на площині. Тоді множину Мандельброта можна побудувати у просторі $\mathbb R^2$.

Як намалювати?

Варто зауважити, що якщо Z вийде за межі комплексного кола радіусу 2, то вже ніколи не повернеться назад.

Тому варто включати в множину Мандельброта лиш ті точки, що не вийшли за межі кола протягом певного числа ітерацій.

Функція мовою Python що за координатами точки дає номер кольору. Вся арифметика комплексна (крім лічильника циклу звісно).

def manfunc(x,y):
        z=0+0j 
        c=complex(x,y)
        i=0
        while abs(z)<2:
                z=z*z+c
                i+=1
                if i>10: break # Константу можна міняти. Чим більша - тим краще, більше кольорів, але довше рахує.
        return i

Те саме в дійсних числах:

def manfunc(x,y):
        zx=0
        zy=0
        i=0
        while zx*zx+zy*zy<4:
                zx1=zx*zx-zy*zy+x
                zy=2*zx*zy+y
                zx=zx1
                i+=1
                if i>imax: break 
        return i

Як номер кольору можна використовувати число (i mod n), i<i_max де i_max — задана максимальна кількість ітерацій, n — кількість використаних кольорів. Ті ж точки, для яких i=i_max, залишаються чорними, вони і належать до множини Мандельброта.

Див. також

• Бенуа Мандельброт
• Буддаброт
• Фрактал
• Лампочка Мандельброта