Модель Ізінга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Модель Ізінга - модель статистичної системи, в якій можуть спостерігатися фазові переходи.

В моделі Ізінга «частинки» розташовані у вузлах регулярної ґратки і можуть перебувати в одному з двох станів. Кожну з них можна описати параметром, який умовно називають "спіном" і позначають S. Спін має значення +1 в одному з станів, і значення -1 в іншому. Частинки у різних вузлах ґратки взаємодіють між собою, причому енергія цієї взаємодії залежить від взаємної орієнтації "спінів". Повна енергія системи записується у вигляді:

$E = -\sum_{ij} J_{ij}S_iS_j \,$

Зазвичай при розгляді моделі Ізінга обмежуються найближчими сусідами, тому енергію можна записати, як

$E = - J \sum_{ij} S_i S_j \,$ .

При додатних значеннях параметра J найменшу енергію має стан із паралельними спінами - усі спіни однинакові. Цей стан аналогічний феромагнітному.

При J < 0 найменшу енергію має антиферомагнітний стан з чергуванням спінів +1 та -1.

Ймовірність реалізацї кожного конкретного розподілу ${S i}$ визначається його енергією і температурою.

$P = e^{-E/k_B T}$ ,

де P - ймовірність, T - температура, а $k B$ - стала Больцмана.

При малій температурі ймовірність реалізації стану з найнижчою енергією найбільша, тобто система перебуватиме у впорядковому стані - феромагнітному або антиферомагнітному. При збільшенні температури ймовірності реалізації станів з різною енергією вирівнюються й більшу вагу має кількість різних мікростанів, які мають дану енергію, тобто ентропія. Ця кількість більша для невпорядкованих станів. При певній температурі можливий фазовий перехід.

[ред.] Зовнішнє поле

Фазовий перехід можливиий також в залежності від зовнішнього "магнітного поля". В такому полі енергія задається формулою

$E = -\sum_{ij} J_{ij}S_iS_j - h \sum_i S_i \,$ ,

де h - напруженість поля. Таким чином можна досліджувати поведінку системи не лише в залежності від температури, а також в залежності від зовнішніх факторів.

[ред.] Розв'язки

Для двовимірної системи модель Ізінга має точний аналітичний розв'язок, отриманий Ларсом Онсагером.

[ред.] Історія

Модель отримала свою назву від прізвища німецького вченого Ернста Ізінга. Ізінг досліджував одновимірний випадок і показав, що в цьому випадку фазового переходу не існує. Звідси він зробив неправильний висновок, що фазового переходу не існує в системі з довільним числом вимірів. Подальші дослідження показали, що фазовий перехід існує для нескінченної ґратки у двовимірному випадку і для будь-якого числа вимірів, більшого за двійку.