Модель Дебая

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Статистична фізика
S = k_B \, \ln\Omega
Термодинаміка
Кінетична теорія

У термодинаміці і фізиці твердого тіла модель Дебая — метод, розвинений Дебаєм в 1912 р. для оцінки фононного внеску в теплоємність твердих тіл. Модель Дебая розглядає коливання кристалічної гратки як газ квазічастинок — фононів. Ця модель правильно передбачає теплоємність при низьких температурах, яка пропорційна Т3. В граничному випадку високих температур теплоємність прямує до 3R, відповідно до закону Дюлонга-Пті.

Молярна теплоємність твердого тіла в теорії Дебая[ред.ред. код]

У моделі Дебая враховано, що теплоємність твердого тіла це параметр рівноважного стану термодинамічної системи. Тому хвилі, що збуджуються в твердому тілі елементарними осциляторами, не можуть переносити енергію. Тобто вони є стоячими хвилями [1]. Якщо тверде тіло вибрати у вигляді прямокутного паралелепіпеду з ребрами a, b, c, то умови існування стоячих хвиль можна записати у вигляді:

n1·λx/2=a; n2·λy/2=b; n3·λz/2=c; (n1, n2, n3 — цілі числа)

Перейдемо до простору, побудованого на хвильових векторах. Оскільки K=2π/λ, то

Kx=2π/λx=π·n1/a; Ky=2π/λy=π·n2/b; Kz=2π/λz=π·n3/c

Таким чином, у твердому тілі можуть існувати осцилятори, з частотами, що змінюються дискретно. Одному осцилятору в К-просторі відповідає комірка з об'ємом

τ=∆Kx·∆Ky·∆Kz=\frac{ \pi^3}{a\cdot b\cdot c}=\frac{ \pi^3}{V}, де

∆Kx=π/a; ∆Ky=π/b; ∆Kz=π/c

В к-просторі осциляторам з частотами в інтервалі (ω, ω+dω) відповідає один октант сферичного шару з об'ємом

dVk=4πK2dK/8=πK2dK/2

В цьому об'ємі кількість осциляторів дорівнює

dNk=dVk/τ=\frac{VK^{2}dK}{2\pi^2}

Врахуємо, що кожен осцилятор генерує 3 хвилі: 2 поперечні та одну повздовжню. При цьому K||=ω/v||, K=ω/v

Знайдемо внутрішню енергію одного молю твердого тіла. Для цього запишемо зв'язок між хвильовим числом, швидкістю розповсюдження хвиль і частотою.

K^2 =K_ \|^2 + 2K_ \bot^2 =\left ( \frac{1}{v_ \|^2} + \frac{2}{v_ \bot^2} \right) \omega^2

d N_k =\frac{V}{2 \pi^2} \left (\frac{1}{v_ \|^2} + \frac{2}{v_ \bot^2} \right)^{\frac{3}{2}} \omega^2 d \omega =A \omega^2 d \omega

Коливання у твердому тілі обмежені максимальним значенням частоти  \omega_m. Визначимо граничну частоту з умови:

N =\int d N_k =\int_0^{\omega_ m} A \omega^2 d \omega =A \frac{\omega_m^3}{3} =3 N_a

 d N_k =9N_a \frac{\omega^2 d \omega}{\omega^3_m}

Звідси:

 U_M =\int <\varepsilon> d N_k =\int_0^{\omega_m} \hbar \omega \left (\frac{1}{e^\frac{\hbar \omega}{K_B T} - 1} + \frac{1}{2} \right) 9N_a \frac{\omega^2 d \omega}{\omega^3_m}

<є> — середня енергія квантового осцилятора (див. модель Ейнштейна).

Кв — постійна Больцмана.

Na — число Авогадро.

В останньому виразі зробимо наступну заміну змінних:

X=\frac{\hbar \omega}{K_B T}; ℏω=KВθ; X_m =\frac{\hbar \omega _m }{K_B T}=\Theta /T; \frac{\omega}{\omega _m}=X\frac{K_B T}{\hbar}\frac{\hbar}{K_B\Theta}=X\frac{T}{\Theta}=X\frac{K_B T}{\hbar \omega _m}

Θ — температура Дебая

Тепер для UM отримуємо

U_M =9N_a \hbar \int_0^{\omega _m} \left (\frac{1}{e^x - 1} + \frac{1}{2} \right) \frac{\omega^3 d\omega}{\omega^3 _m} =9N_a \hbar \left (\frac{T}{\theta} \right)^3 \frac{K_B T}{\hbar} \int_0^{\frac{\theta}{T}} \left (\frac{1}{e^x - 1} + \frac{1}{2} \right) x^3 dx =

=9RT \left (\frac{T}{\theta} \right)^3 \int_0^{\frac{\theta}{T}} (\frac{1}{e^x-1} + \frac{1}{2}) x^3 dx =9R \theta \left [\frac{1}{8} + \left (\frac{T}{\theta} \right)^4  \int_0^{\frac{\theta}{T}} \frac{x^3dx}{e^x - 1}\right]

Нарешті для молярної теплоємності отримуємо

C=dUM/dT=3R \left [ 12{\left ( \frac{T}{\Theta } \right ) }^3 \int_0^{\Theta /T} \frac{X^3}{e^X-1} dX - \frac{3\Theta /T}{e^{\Theta /T}-1}\right ]

Легко перевірити, що за умови T→∞ C→3R, а за умови T→0 C→\frac{12R\cdot \pi^4}{5\cdot \Theta^3}\cdot T^3~T3

Визначений інтеграл \int_0^\infty \frac{X^3}{e^X-1} dX =\frac{\pi ^4}{15} може бути взятий методами теорії функцій комплексної змінної або з використанням дзета-функції Рімана. Таким чином, теорія Дебая відповідає результатам дослідів.

Література[ред.ред. код]

  • Пінкевич І. П., Сугаков В. Й. Теорія твердого тіла. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2006. — 333 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978. — 792 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.