Модель Зінера

Реологічна модель стандартного лінійного тіла (модель Зінера)

Моде́ль Зі́нера (модель стандартного лінійного тіла) — реологічна модель лінійного в'язкопружного тіла, що складається з двох пружних елементів E₁ і E₂ та в'язкого елемента η. Для опису властивостей в'язкопружних тіл часто використовуються модель Максвелла і модель Кельвіна-Фойгта . Цих моделей часто виявляється недостатньо. Так модель Максвелла не описує повзучості а модель Кельвіна-Фойгта не описує релаксацію напружень. Модель Зінера є найпростішою моделлю, яка передбачає ці явища.

Основні характеристики

Елементи сполучені, як показано на рисунку. Модель складається з двох паралельно сполучених систем. Перша є моделлю Максвелла, що містить пружину ($E = E_2$) і в'язкий елемент із в'язкістю $\eta$, сполучених послідовно. Друга вітка складається з однієї пружини ($E = E_1$).

Математичний опис моделі

Для кожного пружного елемента запишемо закон Гука, а для в'язкого — закон в'язкого тертя Ньютона. Разом з умовами розподілу напружень (σ) і деформацій (ε) запишемо для моделі чотири рівняння:

$\sigma_1 = E_1 \epsilon_1$;

$\sigma_2 = E_2 \epsilon_2 = \eta \dot {\epsilon_{\eta}}$;

$\sigma = \sigma_1 + \sigma_2$;

$\epsilon = \epsilon_1 = \epsilon_2 + \epsilon_{\eta}$;

Використовуючи ці співвідношення, їх похідні по часу, система може бути описана наступним рівнянням:

$\frac {d\varepsilon(t)} {dt} = \frac { \frac {E_2} {\eta} \left ( \frac {\eta} {E_2}\frac {d\sigma(t)} {dt} + \sigma(t) - E_1 \varepsilon(t) \right )}{E_1 + E_2}$

Це рівняння також може бути подане у вигляді:

$\frac{d\varepsilon(t)}{dt} = \left ( E_1 + E_2 \right ) ^ {-1} \cdot \left [ \frac{d\sigma(t)}{dt} + \frac{E_2}{\eta}\sigma(t) - \frac{E_1E_2}{\eta}\varepsilon(t) \right ]$

Час релаксації, $\tau$, є властивістю кожного матеріалу і визначається відношенням:

$\frac {\eta} {E_2} = \tau$

Застосування моделі

Модель лінійного в'язкопружного тіла поєднує в собі властивості моделей Максвелла і Кельвіна-Фойгта, що дає можливість точніше описати загальну поведінку системи в заданих умовах навантаження. Поведінка матеріалу в умовах швидкого прикладання навантаження характеризуватись миттєвим значенням деформації. Зростання швидкості прикладання навантаження супроводжується зменшенням залишкової деформації при руйнуванні, що модель і описує. Форма кривої часової залежності деформації також вірно описується моделлю у залежності від швидкості прикладання навантаження.

Хоча ця модель може бути використана для точного прогнозування загальної форми кривої деформації, а також поведінку матеріалу протягом тривалого у часі чи миттєвого прикладання навантаження, модель не описує ці властивості кількісно.

Див. також

• Модель Кельвіна-Фойгта
• Модель Максвелла

Джерела

• Физика полимеров / Бартенев Г. М., Френкель С. Я. / Под ред. д-ра физ.-мат. наук А. М. Ельяшкевича. – Л.: Химия, 1990. ISBN 5-7245-0554-1
• Рейнер М. Реология. Пер. с англ. М.: Наука, 1965. — 224 с.
• Шульман 3. П. Беседы о реофизике. Минск: Наука и техника, 1976. — 96 с.