Модель Леонтьєва

Моде́ль міжгалузе́вого бала́нсу Лео́нтьєва, яку також називають моделлю «витрати — випуск» є основою багатьох лінійних моделей виробничого сектора економіки. За неї Василь Леонтьєв в 1973 році отримав нобелівську премію з економіки.

Міжгалузевий баланс

Модель базується на поняття «чиста галузь» (також на практиці використовують термін «вид економічної діяльності»), яка має такі ознаки:

1. Кожна галузь виробляє лише один продукт
2. Кожен продукт виробляється лише однією галуззю
3. Кожна галузь має єдину технологію

Нехай ввесь виробничий сектор складається з n чистих галузей, і відповідно існує різних n продуктів. В процесі виробництва кожна галузь використовує продукцію інших галузей.

$x_{ij}$ — обсяг продукту i-тої галузі, витраченого j-тою галуззю у виробничому процесі.

$x_i$ — загальний обсяг продукту i-тої галузі

$y_i$ — обсяг продукту i-тої галузі що не використовується для виробництва, тобто йде у кінцеве споживання.

$v_j$ — додана вартість j-тої продукції (прибуток, амортизація, податки, зарплата за наймом тощо)

Маємо рівності, що показують як витрачається кожен продукт:

$\forall i\ x_i = ( x_{i1} + x_{i2} + \ldots + x_{in}) + y_i$.

Для всього господарства загалом:

$\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_{ij} + \sum_{i=1}^n y_i$.

Аналогічно можна скласти рівняння що показують затрати ресурсів на виробництво продукту, або технологію:

$\forall j\ x_j = \sum_{i=1}^n x_{ij} + v_j$.

Таке рівняння може мати лише вартісне вираження (бо в суму входить додана вартість $v_j$).

Загалом для національного господарства запишемо:

$\sum_{j=1}^n x_j = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n x_{ij} + \sum_{j=1}^n v_j$.

Обсяг валового суспільного продукту як сума розподіленої продукції галузей дорівнює обсягу валового суспільного продукту як сумі всіх виробничих витрат. Прирівнявши праві частини загальнонаціональних рівнянь витрат отримаємо:

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_{ij} + \sum_{i=1}^n y_i = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n x_{ij} + \sum_{j=1}^n v_j$,

звідки, очевидно, випливає, що:

$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{j=1}^n v_i$,

тобто споживається продукції на загальну вартість, яка дорівнює загальній доданій вартості всіх виробництв.

Для міжгалузевого балансу важливо встановити взаємно однозначну відповідність між продуктами галузей, що використовують різні пока́зники. Наприклад енергетика вимірює випуск продукту у кіловат-годинах, гірнича промисловість — у тоннах. Тому їх варто перетворити у вартісні показники, які позначимо $\tilde x_j,\, \tilde y_j,\, \tilde x_{ij},\, \tilde v_j$. Якщо $p_i$ — єдина (узгоджена) ціна i-того виду продукції, то

$\tilde x_i = p_i x_i;\; \tilde y_i = p_i y_i;\; \tilde x_{ij} = p_i x_{ij}.$

Модель Леонтьєва

Щоб побудувати модель, припускаємо, що $x_{ij}$ залежить від обсягу виробництва: $x_{ij} = \varphi ( x_j )$.

У найпростішій моделі припускають лінійну залежність між витратами та обсягом виробництва:

$x_{ij} = a_{ij} x_{j}$.

Коефіцієнт $a_{ij} \geq 0$ називається коефіцієнтом прямих виробничих витрат (технологічним коефіцієнтом) продукції i на виробництво продукції j.

Система рівнянь балансу приймає вигляд:

$x_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j + y_i,\ \ i = 1,\ldots,n$

Позначимо:

$x = (x_1, x_2, \ldots , x_n)^T$

$y = (y_1, y_2, \ldots , y_n)^T$

$A = \{ a_{ij} \}_1^n$ — квадратна матриця коефіцієнтів прямих виробничих витрат (технологічна матриця).

Тоді міжгалузевий баланс можна записати матричним рівнянням, яке і є моделлю Леонтьєва:

$x = Ax + y,\ \ x \geq 0$

При використанні єдиної ціни на кожен вид продукції, досягається взаємнооднозначна відповідність між показниками міжгалузевих балансів у натуральному та вартісному вираженні:

$\tilde x_{ij} = \tilde a_{ij} \tilde x_j$

$\tilde a_{ij} = \frac{\tilde x_{ij}}{\tilde x_j} = \frac{p_i x_{ij}}{p_j x_j} = \frac{p_i a_{ij} x_j}{p_j x_j} = a_{ij} \frac{p_i}{p_j}$

Аналіз продуктивності моделі

Означення продуктивної моделі (технологічної матриці)

Якщо для будь-якого невідн'ємного вектора кінцевого споживання $y \geq 0$ система

$x = Ax + y,\ \ x \geq 0$

сумісна (має розв'язок), то відповідну модель Леонтьєва (технологічну матрицю A) називають продуктивною.

Означення продуктивної матриці

Матриця A називається продуктивною, якщо існує вектор $x\geq 0$, який дозволяє отримати невід'ємний вектор кінцевої продукції:

$(E - A) x = y \geq 0$

Термін продуктивність можна вважати синонімом термінів «незбитковість», чи «рентабельність».

Посилання

1. І. М. Ляшенко, М. В. Коробова, І. А. Горіцина Моделювання економічних, екологічних і соціальних процесів: навчальний посібник. — ВПЦ «Київський університет». — ISBN 978-966-439-208-9 Прототип
2. Таблиця «витрати-випуск» за 2009 рік (в цінах споживачів) Держкомстат України.