Модель теплоємності Ейнштейна

Статистична фізика

$S = k_B \, \ln\Omega$

Термодинаміка Кінетична теорія Статистики Максвелла — Больцмана · Бозе — Ейнштейна · Фермі — Дірака · Парастатистика · Еніонна статистика · Статистика кіс Ансамблі Мікроканонічний · Канонічний · Великий канонічний Термодинаміка Рівняння стану · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пті Моделі Модель Дебая · Модель Ейнштейна · Модель Ізінга Потенціали Внутрішня енергія · Ентальпія · Вільна енергія Гельмгольца · Вільна енергія Гіббса · Великий термодинамічний потенціал Відомі науковці Больцман · Ґіббс · Максвелл

Запропонована Ейнштейном модель теплоємності твердого тіла виходить з припущення, що тверде тіло складається з осциляторів з певною власною частотою $\omega$, які підкоряються статистиці, аналогічній статистиці світлових квантів у теорії випромінювання абсолютно чорного тіла Планка

Математичне формулювання

Для системи, що складається з N тривимірних осциляторів, внутрішня енергія задається фомулою

$U = 3 N \frac{\hbar \omega} {e^{\hbar\omega/k_B T} -1}$,

де $\hbar$ — приведена стала Планка, $k_B$ — стала Больцмана, T — абсолютна температура.

Відповідно, теплоємність

$C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = 3k_B N \left( \frac{\hbar\omega}{k_B T} \right)^2 \frac{e^{\hbar\omega/k_B T}}{ \left( e^{\hbar\omega/k_B T} -1 \right)^2 }$

Успіхи й недоліки

Теорія Ейнштейна пояснює закон Дюлонга-Пті при високих температурах і падіння теплоємності до нуля при низьких температурах, однак не може кількісно відтворити закон цього падіння. Недоліком теорії є те, що вона не враховує взаємодію між осциляторами. Врахувавши таку взаємодію в 1912 році Петер Дебай побудував теорію теплоємності, яка правильно відтворює кубічну залежність теполоємності від температури при низьких температурах (закон Дебая).

Теорію Ейнштейна можна також з успіхом застосовувати для обчислення вкладу в теплоємність оптичних фононів, нехтуючи їхньою дисперсією.

Джерела

• Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа. 
• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. Москва: Наука.