Модуль над кільцем

Модуль над кільцем — алгебраїчна структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

• векторного простору (де кільце скалярів утворює поле);
• абелевої групи (де кільце збігається з цілими числами $\Z$).

Модуль є адитивною абелевою групою де визначене множення між елементами кільця скалярів та елементами модуля і воно є асоціативним (між елементами кільця) та дистрибутивним.

Визначення

Коли задано$\ R$-кільце, то $\ R$-модулем називається абелева группа $\ (M, +)$ з додатковою операцією множення на елементи кільця $\ R\times M \to M,$

що задовільняє наступні умови $\forall \; m_1,m_2 \in M, \;\; r_1, r_2 \in R:$

1. $\ r \, (m_1 + m_2) = r \, m_1 + r \, m_2,$
2. $\ (r_1 + r_2) \, m = r_1 \, m + r_2 \, m,$
3. $\ (r_1 \, r_2)\, m = r_1 \, (r_2 \, m),$
4. $\ 1_R \cdot m = m.$

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

$\ (r_1 \, r_2) \, m = r_2 \, (r_1 \, m),$ що зручніше записувати як $\ m \, (r_1 \, r_2) = (m \, r_1) \, r_2,$ звідки походить назва.

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм

• Підмодулем модуля $M_R\$ називається підгрупа групи $\ M$, замкнута відносно множення на елементи з $\ R$.

• Якщо кільце розглядати як (лівий)модуль над собою (R=M), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.

• Гомоморфізмом $R$-модулів $A$ та $B$ називається гомоморфізм груп $\ f: A \to B$, для якого виконується умова $\ f(ra) = rf(a) \;\; \forall a \in A, r \in R$. Множину всіх таких гомоморфізмів позначають $Hom_R (A,\ B)$.

Приклади

• Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел ($\Z$-модуль).
• Лінійний простір над полем F є модулем над полем F.
• Лінійний простір V — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень L(V).

Історія

Найпростіші $\Z$-модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. В той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Джерела

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967