Модулярна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
ModularGroup-FundamentalDomain-01.png

Модулярна групагрупа \Gamma всіх дробово-лінійних перетворень виду

z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},

де a,\;b,\;c,\;dцілі числа, причому \ ad-bc=1.

Модулярна група ототожнюється з факторгрупою SL(2,\;\Z)/\{I,\;-I\}. Тут SL(2,\;\Z)спеціальна лінійна група.

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},

де a,\;b,\;c,\;d — цілі числа \ ad-bc=1.

Властивості[ред.ред. код]

Модулярна група є дискретною групою перетворень верхньої комплексної півплощини H=\{z:\mathrm{Im}\,z>0\} і допускає подання твірними:

S:z\mapsto -1/z,
T:z\mapsto z+1

і співвідношеннями S^2=(ST)^3=1, тобто є вільним добутком циклічної групи порядку 2, породженої S, і циклічної групи порядку 3, породженої ST.

Для довільного перетворення g(z) = \frac{az+b}{cz+d} з модулярної групи справедлива рівність:

\mathrm{Im}\,g(z)=\frac{\mathrm{Im}\,z}{|cz+d|^2}.\qquad\qquad(1)

Оскільки уявна частина z ненульова, а числа c і dцілі, не рівні нулю одночасно, то величина |cz+d|^2 відокремлена від нуля (не може бути як завгодно малою). Це означає, що в орбіті будь-якої точки є така, на якій уявна частина досягає свого максимуму.

Фундаментальна область[ред.ред. код]

Фундаментальна область (канонічна) модулярної групи — це замкнута область

D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm{Re}\,z|\leqslant 1/2\}.

Легко перевірити, використовуючи (1), що перетворення модулярної групи не збільшують уявну частину точок з D. З цього виходить, що для того, щоб дві точки z,\;g(z) належали D, їх уявна частина повинна бути однакова: |cz+d|^2=1. Таким умовам відповідають наступні перетворення і точки:

  1. g(z)=z,\;z — будь-яка точка;
  2. g(z)=z-1,\;\mathrm{Re},z=1/2;
  3. g(z)=z+1,\;\mathrm{Re},z=-1/2;
  4. g(z)=-1/z,\;|z|=1.

Зокрема, всі точки області D мають тривіальний стабілізатор, окрім трьох:

  1. \mathrm{St}(i)=\{1,\;S\};
  2. \mathrm{St}(e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^2\};
  3. \mathrm{St}(-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^2\}.

Крім того, з цього випливає що при факторизації верхньої півплощини по дії модулярної групи внутрішні точки D відображаються ін'єктивно, тоді як граничні — склеюються з точками, «дзеркальними» до них відносно прямої \mathrm{Re}\,z=0.

Література[ред.ред. код]