Модулярна ґратка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
діаграма Гассе — N5, найменшої не модулярної ґратки.

Модулярна ґратка — ґратка, яка задовольняє наступний самодвоїстий закон:

із ~x \le b слідує x \or (a \and b) = (x \or a) \land b.,

де  ≤ є відношення нестрогого порядку,  ∨  та  ∧  (бінарні операції об'єднання та перетину). Модулярні ґратки природно виникають в алгебрі та в багатьох інших областях математики. Наприклад, підмножини векторного простору (модуль над кільцем) утворюють модулярні ґратки.

Кожна дистрибутивна ґратка є модулярною.

Не обов'язково в модулярній ґратці може бути елемент b, модульний закон виконується для довільного елемента a та x (≤ b). Такий елемент називається модулярним елементом. Загалом, модульний закон може існувати для фіксованої пари (ab). Така пара називається модулярною парою.

Вступ[ред.ред. код]

Модулярний закон можна спостерігати як обмежений асоціативний закон, який з'єднує дві операції:

λ(μx) = (λμ)x.
Пентагон N5.

Модулярний закон:

xb слідує x ∨ (ab) ≥ (xa) ∧ b.

Підставляючи замість x вираз xb, модульний закон може бути виражений у вигляді рівняння наступним чином:

(xb) ∨ (ab) = [(xb) ∨ a] ∧ b.

Це показує, що, використовуючи термінологію з універсальної алгебри, модулярні ґратки утворюють різноманіття решіток. Найменша немодулярна ґратка — це «Пентагон»(N5), що складається з п'яти елементів 0,1,x,a,b, таких що

0 < x < b < 1, 0 < a < 1.

Для цієї ґратки справедливо:

x ∨ (ab) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = (xa) ∧ b, що суперечить модульному закону.

Кожна немодулярна ґратка містить копію N5.

Модулярні ґратки іноді називають дедекіндовими структурами на честь Ріхарда Дедекінда, який відкрив модулярні ідентичності.

Алмазний ізоморфізм[ред.ред. код]

Для будь-яких двох елементів a,b модулярної ґратки, можна розглядати інтервали [ab, b] та [a, ab]. Вони пов'язані та зберігають порядок:

φ: [ab, b] → [a, ab] та
ψ: [a, ab] → [ab, b]

які визначаються φ(x) = xa та ψ(x) = xb.

Композиція ψφ зберігає порядок відображення на інтервалі [ab, b] та задовольняє нерівності ψ(φ(x)) = (xa) ∧ bx. Аналогічно φψ тотожно [a, ab]. Отже спостерігаємо ізоморфізм двох відображень φ та ψ.

Цей результат іноді називають теоремою алмазів ізоморфізму для модулярних ґраток. Ґратка є модулярною тоді і тільки тоді, коли теорема алмазів ізоморфізму існує для будь-якої пари елементів.

Теорема алмазів ізоморфізму для модулярних ґраток аналогічна третій теоремі про ізоморфізми в алгебрі.

Модулярні пари[ред.ред. код]

Решітка шестикутника S7, також відома як D2

У будь-якій ґратці, модулярна пара являє собою пару ( a, b ) елементів, таких що для всіх х виконується a ∧ bx ≤ b, то (x ∨ a) ∧ b = x. Елемент b ґратки називається правим модулярним елементом, якщо (a, b ) являє собою модулярну пару для всіх елементів a.

Ґратка має властивість таку що, якщо (a, b) являє собою модулярну пару, то ( b, a ) також є модулярною парою, та називається M-симетричною ґраткою. У ґратках N5 , описаних вище, пара ( b, a ) є модульною, але пари (a, b) немає. Тому N5 не є M-симетричною. Центрова ґратка шестикутника S7 М-симетрична, але не модулярна. З того, що N5 є підґраткою S7 випливає, що M-симетричні ґратки не утворюють різноманіття ґраток.

M-симетрія не є поняттям самодвоїстості. Двоїсті модулярні пари являють собою пару, яка має подвійне відношення порядку, а ґратка називається двоїстою M-симетричною або M*-симетричною (подвійна M-симетричність ). Отже ґратка може бути модулярною тоді й тільки тоді, коли вона M-симетрична і M*-симетрична. Це еквівалентно і для нескінченних ґраток, які задовольняють умову максимальності (або низхідний ланцюжковий стан).

Ґратки навхрест симетричні тоді, коли для кожної модулярної пари ( a, b ) пара ( b, a ) є двічі модулярною. Симетрія навхрест означає, що виконується M-симетрія, але не виконується M*-симетрія. Тому вона не еквівалентна подвійній симетрії навхрест. Ґратка з найменшим елементом 0 є ⊥-симетричною, якщо для кожної модулярної пари ( a, b ), що задовольняє a ∧ b = 0, пара (b, a) також є модулярною.

Історія[ред.ред. код]

Термін «модулярність» пов'язаний з ім’ям німецького математика Ріхарда Дедекінда. Він опублікував велику частину документів після його виходу на пенсію. У статті, опублікованій в 1894 році, він вивчав ґратки, які назвав подвійними групами (нім. Dualgruppen). Він також зазначив, що для ґраток загалом модулярний закон є еквівалентним двоїстому.

Дедекінд також зазначив, що будь-яка ґратка комутативного кільця задовольняє наступній формі модулярної ідентичності, яка також є самодвоїстою:

(xb) ∨ (ab) = [xa] ∧ b.

Він називав ґратки, які задовольняють цій тотожності, подвійною групою ідеального типу (нім. Dualgruppen vom Idealtypus). У сучасній літературі їх частіше називають дистрибутивними ґратками.

Див. також[ред.ред. код]


Посилання[ред.ред. код]