Мозаїка Пенроуза

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Мозаїка Пенроуза.

Мозаїка Пенроуза, плитки Пенроуза — неперіодичне розбиття площини, аперіодичні регулярні структури, замощення площини ромбами двох типів — з кутами 72° і 108° («товсті ромби») і 36° і 144° («тонкі ромби»), такими (підкоряються пропорції «золотого перетину»), що будь-які два сусідніх (тобто тих, що мають спільну сторону) ромби не утворюють разом паралелограм [1].

Всі такі замощення неперіодичні і локально ізоморфні один одному (тобто будь-який кінцевий фрагмент однієї мозаїки Пенроуза зустрічається в будь-якій іншій).

Влистивості[ред.ред. код]

«Самоподібність» — можна так об'єднати сусідні плитки мозаїки, щоб знову утворилась мозаїка Пенроуза.

Кілька відрізків можна намалювати на кожній з двох плиток так, що при викладуванні мозаїки кінці цих відрізків поєднаються і на площині утворяться кілька сімейств паралельних прямих ліній (смуги Аммана).

Відстані між сусідніми паралельними прямими приймають рівно два відмінних значення (а для кожного сімейства паралельних прямих послідовність цих значень володіє самоподібністю).

Мозаїки Пенроуза, що мають діри, покривають всю площину, за виключенням фігури кінцевої площини. Збільшити діру, знявши кілька (скінченне число) плиток, після чого замостити непокриту частину повністю, не можна.

Історія[ред.ред. код]

Роджер Пенроуз стотїть на підлозі, яка вкрита мозаїкою Пенроуза

Названа в честь Роджера Пенроуза, який цікавився проблемою «замощення», тобто заповнення площини фігурами однієї форми без зазорів і перекривання.

Задача вирішується замощенням фігурами, що утворюють малюнок, який періодично повторюється, але Пенроуз хотів відшукати саме таку фігуру, яка при замощенні площини не утворювала б візерунків, що повторюються. Вважалось, що немає таких плиток, з яких будувались би тільки неперіодичні мозаїки. Пенроуз пібдирав безліч плиток різної форми, в кінці-кінців їх виявилось тільки 2, які мали «золотий перетин», який лежить в основі всіх гармонічних співвідношень. Це фігури ромбовидної форми з кутами 108° і 72°. Пізніше фігури спростились до форми звичайного ромба (36° і 144°), в основі лежить принцип «золотого трикутника».

Отримані візерунки мають квазікристалічну форму, яка має осьову симетрію 5-го порядку. Структура мозаїки пов'язана з послідовністю Фібоначчі.

Пізніше вчені — Д. Шехтман, И. Блех, Д. Гратиас и Дж. Кан — зробили сенсаційне відкриття, виявивши особливу структуру швидкоохолодженого сплаву марганцю і алюмінію. Раніше вважалось, що кристали мають осьову симетрію лише 1-го, 2-го, 3-го, 4-го і 6-го порядку. Іншими словами, кристали, які мають осьову симетрію 5-го порядку, знаходяться в стані плавного переходу між аморфними тілами і періодичними кристалами.

В тривимірному просторі[ред.ред. код]

В тривимірному просторі використовуються ікосаедри, якими здійснюється щільне заповнення тривимірного простору[2].

В архітектурі[ред.ред. код]

На території сучасного Ірану в провінції Ісфахан така апериодическая мозаїка прикрашає побудовану в 1453 році мечеть Дарб-і Імам.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]