Момент (математика)

Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.

Означення

Якщо дана випадкова величина $\displaystyle X,$ визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини $\displaystyle X$ називається величина

$\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

$\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

$\displaystyle k$-им факторіальним моментом випадкової величини $\displaystyle X$ називається величина

$\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Зауваження

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

$\displaystyle \mu_1 = 0,$

$\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,$

$\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,$

$\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4,$ і т. д.

Геометрична інтерпретація деяких моментів

• $\displaystyle \nu_1$ дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
• $\displaystyle \mu_2$ дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини $\displaystyle (\mu_2=\sigma^2)$ і показує розкид розподілу довкола середнього значення.
• $\displaystyle \mu_3$, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз

$\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

називається коефіцієнтом асиметрії.

• $\displaystyle \mu_4$ контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина

$\gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3$

називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в. $\displaystyle X.$

Обчислення моментів

• Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом інтегрування відповідної функії випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу із щільністю$\displaystyle f(x),$ маємо:

$\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,$

якщо

$\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty}$,

а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей $\displaystyle p(x)$:

$\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),$

якщо $\nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.$

• Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію $\displaystyle \varphi(t)$:

$\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \varphi(t)\right\vert_{t=0}.$

• Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, $\displaystyle M_X(t),$, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:

$\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\right\vert_{t=0}.$

Можна також розглядати моменти в.в. для значень $k$, що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу $k$, називається перетворення Мелліна.

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

Див. також

• Математичне сподівання
• Дисперсія випадкової величини

Джерела

• Сеньо П. С. (2004). «Розділ 4.3». Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 1-e). Київ: Центр навчальної літератури. с. 448.