Момент імпульсу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка
\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

Моме́нтом і́мпульсу називається векторна величина, яка характеризує інерційні властивості тіла, що здійснює обертальний рух відносно певної точки (початку координат).

Момент імпульсу в класичній механіці[ред.ред. код]

З'вязок між імпульсом \scriptstyle{\mathbf p} і моментом \scriptstyle{\mathbf L}

Визначення[ред.ред. код]

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно початку координат в класичній механіці є величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора цієї частинки на її імпульс.

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

Відповідно,

  • L -- кутовий момент
  • r -- радіус-вектор частинки
  • p -- імпульс частинки

Якщо фізична система складається з багатьох матеріальних точок, то результуючий момент імпульсу відносно початку координат є сумою (інтегралом) усіх моментів імпульсу складових системи.

Для багатьох практичних задач, які вивчають властивості об'єкта, що обертається навколо певної осі, достатньо проаналізувати скалярне значення момента імпульсу, який є додатним, якщо обертання відбувається проти годинникової стрілки та від'ємним, якщо навпаки.

Відповідно до визначення векторного добутку векторів, скаляр момента імпульсу визначається як:

\mathbf{L} = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p}

де θr,p -- кут між r та p, який вимірюється від r до p; такий порядок обходу векторів при визначенні кута є принциповим. Якщо порядок змінити на зворотний, зміниться й знак.

Для тіла сталої маси, яке обертається навколо фіксованої осі, момент імпульсу можна визначити як добуток момента інерції тіла відносно цієї осі на його кутову швидкість:

\mathbf{L}= I \mathbf{\omega}

де I -- момент інерції частинки, ω -- вектор кутової швидкості.

Момент імпульсу у Спеціальній теорії відносності та класичній теорії поля[ред.ред. код]

У Спеціальній теорії відносності вектор моменту імпульсу дає компоненти антисиметричного тензора другого рангу - тензора моменту імпульсу та спіну:

\ L_{\alpha \beta} = x_{\alpha}p_{\beta } - x_{\beta }p_{\alpha },

або, у явному вигляді,

\ L_{\alpha \beta } = (\mathbf G , \mathbf L ) = \begin{pmatrix} 0 & -G_{x} & -G_{y} & -G_{z} \\ G_{x}  & 0 & L_{z} & -L_{y} \\ G_{y} & -L_{z} & 0 & L_{x} \\ G_{z} & L_{y} & -L_{x} & 0 \end{pmatrix},

де \ \mathbf L = [\mathbf r \times \mathbf p], \quad \mathbf G = \frac{E}{c}\mathbf r - ct \mathbf p - вектори моменту імпульсу та спіну.

Тензорне представлення вектора моменту імпульсу слідує з того, що перетворення Лоренца даного вектора співпадає з перетворенням Лоренца компонент антисиметричного тензора.

У рамках класичної теорії поля тензором моменту імпульсу та спіну називають струм, який відповідає інваріантності лагранжіану поля по відношенню до перетворень Лоренца, які можна інтерпретувати як повороти у 4-просторі-часі:

\ J_{\mu , \alpha \beta} = L_{\mu, \alpha \beta } + S_{\mu , \alpha \beta} = (x_{\alpha }T_{\mu \beta} - x_{\beta}T_{\mu \alpha }) + \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu }\Psi_{k})}Y_{k, \alpha \beta},

де \ T_{\alpha \beta } - тензор енергії-імпульсу, \ \Psi_{k} - поле, \ Y_{k, \alpha \beta} - величина-похідна, що визначає трансформаційні властивості поля по відношенню до перетворення Лоренца.

Наявність спінової частини у тензорі моменту імпульсу та спіну тісно пов'язано із симетрією тензора енергії-імпульсу відносно перестановки індексів. Якщо тензор енергії-імпульсу симетричний, то кутова та спінова частини тензору моменту імпульсу та спіну зберігаються (у термінах теорії поля) окремо. Якщо ж провести процедуру "занесення" спінової частини до кутової тензору моменту імпульсу та спіну, то одночасно із цим можна симетризувати тензор енергії-імпульсу. Така процедура називається процедурою Беліфанте. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Закон збереження момента імпульсу[ред.ред. код]

Момент імпульсу -- одна з фізичних величин, для якої діє фундаментальний закон збереження.

Назвемо замкненою (в сенсі обертання) таку систему, для якої сума моментів зовнішніх сил M дорівнює нулю. Для такої системи

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum \boldsymbol{M_i} = 0

та

\mathbf{L} = \text{const} .

Тобто, в замкненій системі момент імпульсу зберігається незмінним. Як випливає з теореми Нетер, таке твердження є наслідком ізотропності (тобто рівноцінності всіх напрямів) простору.

Момент імпульсу в квантовій фізиці[ред.ред. код]

Докладніше у статті Оператор кутового моменту

В квантовій механіці момент імпульсу визначається не як фізична величина, а як оператор над вектором стану.

Оператор момента імпульсу має вигляд:

\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}

де r та p -- оператори радіус-вектора та імпульсу системи. Для вільної частинки без спіну та електричного заряду, оператор момента імпульсу може бути наведений в такій формі:

 \mathbf{L}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla), де  \nabla -- оператор Гамільтона.

Окремі компоненти оператора момента імпульсу не комутують між собою. Внаслідок цього їх неможливо визначити одночасно. Детальніше дивись в статті оператор кутового моменту.

Джерела[ред.ред. код]

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
  • Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
  • Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975. — 441 с.
  • Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с.