Момент імпульсу

Класична механіка

$\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}$

Другий закон Ньютона

Історія класичної механіки Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі

Моме́нтом і́мпульсу називається векторна величина, яка характеризує інерційні властивості тіла, що здійснює обертальний рух відносно певної точки (початку координат).

Момент імпульсу в класичній механіці

З'вязок між імпульсом $\scriptstyle{\mathbf p}$ і моментом $\scriptstyle{\mathbf L}$

Визначення

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно початку координат в класичній механіці є величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора цієї частинки на її імпульс.

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

Відповідно,

• L -- кутовий момент
• r -- радіус-вектор частинки
• p -- імпульс частинки

Якщо фізична система складається з багатьох матеріальних точок, то результуючий момент імпульсу відносно початку координат є сумою (інтегралом) усіх моментів імпульсу складових системи.

Для багатьох практичних задач, які вивчають властивості об'єкта, що обертається навколо певної осі, достатньо проаналізувати скалярне значення момента імпульсу, який є додатним, якщо обертання відбувається проти годинникової стрілки та від'ємним, якщо навпаки.

Відповідно до визначення векторного добутку векторів, скаляр момента імпульсу визначається як:

$\mathbf{L} = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p}$

де θ_r,p -- кут між r та p, який вимірюється від r до p; такий порядок обходу векторів при визначенні кута є принциповим. Якщо порядок змінити на зворотний, зміниться й знак.

Для тіла сталої маси, яке обертається навколо фіксованої осі, момент імпульсу можна визначити як добуток момента інерції тіла відносно цієї осі на його кутову швидкість:

$\mathbf{L}= I \mathbf{\omega}$

де I -- момент інерції частинки, ω -- вектор кутової швидкості.

Закон збереження момента імпульсу

Момент імпульсу -- одна з фізичних величин, для якої діє фундаментальний закон збереження.

Назвемо замкненою (в сенсі обертання) таку систему, для якої сума моментів зовнішніх сил M дорівнює нулю. Для такої системи

$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum \boldsymbol{M_i} = 0$

та

$\mathbf{L} = \text{const}$.

Тобто, в замкненій системі момент імпульсу зберігається незмінним. Як випливає з теореми Нетер, таке твердження є наслідком ізотропності (тобто рівноцінності всіх напрямів) простору.

Момент імпульсу в квантовій фізиці

Докладніше у статті Оператор кутового моменту

В квантовій механіці момент імпульсу визначається не як фізична величина, а як оператор над вектором стану.

Оператор момента імпульсу має вигляд:

$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$

де r та p -- оператори радіус-вектора та імпульсу системи. Для вільної частинки без спіну та електричного заряду, оператор момента імпульсу може бути наведений в такій формі:

$\mathbf{L}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla)$, де $\nabla$ -- оператор Гамільтона.

Окремі компоненти оператора момента імпульсу не комутують між собою. Внаслідок цього їх неможливо визначити одночасно. Детальніше дивись в статті оператор кутового моменту.

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
• Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975. — 441 с.
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с.