Монотонна послідовність

Монотонно спадною (зростаючою, неспадною, незростаючою) називають послідовність в якій кожен член $x_{n}$ є меншим (більшим, не меншим, не більшим) за член послідовності $x_{n-1}$.

Визначення

Нехай є множина $X$, на якій введено відношення порядку. Послідовність $\{x_{n}\}$ елементів множини $X$ називається неспадною, якщо кожен елемент цієї послідовності не перевищує наступного за ним.

$\{x_{n}\}$ — неспадна $\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}$

Послідовність $\{x_{n}\}$ елементів множини $X$ називається незростаючою, якщо кожен наступний елемент цієї послідовності не перевищує попереднього.

$\{x_{n}\}$ — незростаюча $\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}$

Послідовність $\{x_{n}\}$ елементів множини $X$ називається зростаючою , якщо кожен наступний елемент цієї послідовності перевищує попередній.

$\{x_{n}\}$ — зростаюча $\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1}$

Послідовність $\{x_{n}\}$ елементів множини $X$ називається спадною, якщо кожен елемент цієї послідовності перевищує наступний за ним.

$\{x_{n}\}$ — спадною $\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}$

Послідовність називається монотонною, якщо вона є неспадною або незростаючою.

Послідовність називається строго монотонною, якщо вона є зростаючою або спадною.

Очевидно, що строго монотонна послідовність є монотонною.

Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «неспадна послідовність», а термін «спадна послідовність» - як синонім терміну «незростаюча послідовність». У такому випадку зростаючі і спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадними», відповідно.

Проміжки монотонності

Може виявитися, що вищевказані умови виконуються не для всіх номерів $n\in \mathbb {N}$, а лише для номерів із деякого діапазону.

$I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}$

Тут допускається звернення правої межі $N_{+}$ у нескінченність. У цьому випадку послідовність називається монотонною на проміжку I, а сам діапазон I є проміжком монотонності послідовності.

Приклади

• Послідовність натуральних чисел.
  • $\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=n$.
  • Початкові відрізки:$(1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )$.
  • Зростаюча послідовність.
  • Складається з натуральних чисел.
  • Обмежена знизу, зверху не обмежена.
• Послідовність Фібоначчі
  • $x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{n-1}+x_{n-2},&n\geqslant 3\end{cases}}$
  • Початкові відрізки: $(1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )$.
  • Не спадна послідовність.
  • Складається з натуральних чисел.
  • Обмежена знизу, зверху не обмежена.
• Геометрична прогресія з основою $1/2$.
  • $\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}$.
  • Початкові відрізки: $(1,1/2,1/4,1/8,1/16,\cdots )$.
  • Зростаюча послідовність.
  • Складається з раціональних чисел.
  • Обмежена з обох сторін.

• Послідовність, що сходиться до числа e.
  • $\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$.
  • Початкові відрізки:$(2,9/4,64/27,625/256,\cdots )$.
  • Зростаюча послідовність.
  • Складається з раціональних чисел, але сходиться до трансцендентного числа.
  • Обмежена з обох сторін.
• Послідовність раціональних чисел виду $x_{n}=\,\!(n-5)^{2}$ не є монотонною. Тим не менш, вона (строго) спадає на відрізку $\{1,\,\!2,3,4\}$ і (строго) зростає на проміжку $\{n\in \mathbb {N} \mid n\geqslant 5\}$.

Властивості

• Обмеженість.
  • Будь-яка неспадна послідовність обмежена знизу.
  • Будь-яка незростаюча послідовність обмежена зверху.
  • Будь-яка монотонна послідовність обмежена принаймні з одного боку.
• Монотонна послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли вона обмежена з обох сторін. (Теорема Вейєрштрасса про обмежені монотонних послідовностей)
  • Збіжна неспадна послідовність обмежена зверху своєю межею.
  • Збіжна незростаюча послідовність обмежена знизу своєю межею.

Джерела

• Заблоцький М., Сторож О., Тарасюк С,. Монотонні послідовністі // Математичний аналіз. — Львів : «Знання», 2008. — С. 47. — ISBN 978-966-346-323-0.
• Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: Физматлит, 2001. — 672 с.